Предыдущие статьи:
Вообще говоря, природа не знает никаких законов и, тем более, не имеет стремления соблюдать их. Природа такова, какова есть. Это люди в процессе её познания ищут и находят наиболее общие принципы во всей совокупности природных явлений. Одними из наиболее общих принципов присущих природе являются, выведенные исключительно эмпирически, законы сохранения.
Их не много. Это законы сохранения импульса (количества движения), энергии, момента импульса и ряда квантовых чисел (заряда, лептонного числа, барионного числа, четности…). В этой главе мы ограничимся первыми тремя, составляющими основу классической физики.
Итак, мы имеем три базовых, выведенных эмпирически (подчеркну еще раз), закона сохранения: количества движения, энергии и момента количества движения. Однако, хочу высказать довольно крамольную мысль о том, что два из них являются лишними. Точнее – вторичными по отношению к основному.
Согласно логике предыдущих глав нетрудно догадаться, что основным законом сохранения является закон сохранения количества движения. И наша задача состоит в том, чтобы показать, что все остальные законы сохранения являются следствием основного.
Приступим.
Закон сохранения энергии
Для начала нам придется вернуться к главе «Немного о Материи и Движении. Часть 2» и вспомнить, что «любое движение любой формы материи сводится к кинетической форме движения». Другими словами, энергия любой системы в конце концов разлагается на кинетическую энергию составляющих ее материальных объектов. А это значит, что закон сохранения энергии «вообще» сводится к сохранению кинетической энергии. Напомню, что кинетическая энергия материального тела массой m, движущегося со скоростью v определяется формулой:
Следовательно закон сохранения кинетической энергии системы из n материальных объектов можно записать в следующем виде:
Состояние системы может меняться только в процессе взаимодействия объектов и обмена количествами движения. Рассмотрим элементарное кинетическое взаимодействие на примере идеального упругого столкновения двух сферических объектов в произвольной инерциальной системе отсчета.
Возможны два сценария столкновения:
- Прямое
- Со смещением
Задача прямого столкновения решалась с применением закона сохранение количества движения в статье «Немного об Инерции и Массе». Значения итоговых скоростей после столкновения определяются формулами:
Для проверки справедливости закона сохранения кинетической энергии достаточно подставить эти формулы в следующее выражение:
Уверяю вас, что после пары десятков минут усердных и аккуратных вычислений вам удастся подтвердить данное тождество. Это будет означать, что в случае прямого столкновения двух тел выполняется сохранение энергии системы этих объектов.
Теперь рассмотрим случай посложнее. Столкновение двух сферических объектов O1(m1,R1,v1) и O2(m2,R2,v2) со смещением на прицельное расстояние d. Смотрите рисунок ниже. Для удобства решения задачи ось X системы отсчета направим параллельно скоростям объектов и сориентируем ось Y параллельно прицельному расстоянию. Уверяю вас, что данные ухищрения нисколько не повлияют на результат расчетов и его достоверность.
Итак, ситуация перед столкновением представлена на рисунке ниже.
Момент столкновения и обмена количествами движения выглядит так:
Точка столкновения двух объектов обозначена как О. Она лежит на отрезке О1О2, соединяющем центры объектов. Длина отрезка О1О2 равна сумме радиусов объектов: R1+R2. Угол между отрезком О1О2 и направлением скоростей v1 и v2 обозначен как α:
Теперь проделаем следующие манипуляции с текущей системой отсчета (СО), которые облегчат решение задачи.
Во-первых: перейдем к системе отсчета связанной с центром количества движения объектов. Новая система отсчета, обозначим ее как СО’, должна двигаться со скоростью V’ относительно СО.
Скорости объектов в СО’ примут следующие значения:
Кроме того перейдем от отображения скоростей объектов к их количествам движения p’1 и p’2.
Следует отметить, что импульсы объектов в системе отсчета СО’ равны по модулю и противоположны по направлению. Это легко проверить, подставив в формулы (3) и (4) выражения (1) и (2).
Во-вторых: перенесем вектора количества движения p’1 и p’2 к точке соприкосновения О. Обозначим на рисунке линию А, проходящую через точку О и касательную к поверхностям сталкивающихся объектов. Понятно, что она будет перпендикулярна отрезку О1О2.
Рассмотрим физику процесса в системе отсчета СО’. Объекты сталкиваются и отскакивают обмениваясь количеством движения. Поскольку количества движения объектов до столкновения равны, то после столкновения они приобретают то же количество движения, однако векторы их будут направлены в другую сторону. Направление это не сложно определить. Объект 1 падает на поверхность линии А под углом αотносительно отрезка О1О2. Следовательно он отскочит от нее зеркально и под таким же углом. Аналогичным образом получаем угол отскока и второго объекта. Результирующие количества движения объектов после отскока в системе отсчета СО’ обозначены на рисунке как n’1 и n’2.
С абсолютными значениями количеств движения после столкновения все понятно. Теперь разберемся с направлениями в СО’. Для этого найдем проекции векторов на оси X‘ и Y’.
Перейдем к выражениям для скоростей u’1 и u’2 в системе отсчета СО’:
А теперь вернемся в систему отсчета СО. Для этого прибавим к полученным значениям скоростей после столкновения скорость движения V’ системы отсчета СО’.
Проекции итоговых скоростей в исходной системе отсчета СО будут выглядеть следующим образом:
И, соответственно, абсолютные значения скоростей:
Итог столкновения будет выглядеть следующим образом:
Теперь, если у вас найдется пол часа свободного времени и, главное, желание, то вы можете подставить выражения (5) и (6) в формулу сохранения энергии:
Уверяю, вы получите абсолютное тождество. Ведь это тоже закон!
Смысл
В чем же смысл, в чем цель всех произведенных выше манипуляций? Ведь задача не центрального столкновения тел решена давным-давно и гораздо красивее, и гораздо более оптимально.
А смысл в том, чтобы показать принципиальную решаемость задач классической механики с использованием только одного и, по моему мнению, базового закона сохранения – закона сохранения количества движения. Да, несомненно, использование закона сохранения энергии существенно упрощает процесс решения. Но тем не менее, Необходимым и Достаточным законом является закон сохранения количества движения. Достаточным потому, что остальные законы не обязательны. А Необходимым потому, что не используя закон сохранения количества движения решать подобные задачи невозможно.
А поскольку любые взаимодействия в природе, в конце концов, сводятся к кинетическому обмену количеством движения, можно смело утверждать, что главнейшим понятием физики является понятие количества движения. А значит физика, по сути и по смыслу, должна быть физикой количества движения.
Читайте далее:
А еще: