Анатолий Бурнышев родился 7 июня 1919 года в Майкопе, в семье рабочих. После окончания школы поступил в Краснодарский педагогический институт.
Уже гремели первые залпы Великой Отечественной, когда он защитил свою первую научную работу — дипломную статью на историческом отделении Краснодарского пединститута.
Как и многие его ровесники и земляки, он ушел на фронт в числе первых. Призван был 27 июня 1941 года Адыгейским облвоенкоматом, служить попал сначала в формируемую в Москве 7-ю гвардейскую механизированную дивизию.
В марте 1942 года Виктора Анатольевича переводят в 22-й отдельный гвардейский Краснознаменный минометный полк 8-й гвардейской бригады тяжелых минометов 34-й армии Северо-Западного фронта.
Первые бои в которых ему довелось участвовать — попытки советских войск уничтожить окруженную в так называемом «Демянском котле» группировку врага в Новгородской области. С конца марта 1942 года 34-я армия после ряда неудачных наступлений занимала практически те же позиции, что и перед началом Демянской операции, нависая над Демянской группировкой с севера на рубеже Лычково — Исаково и ведя частные боевые операции.
Примером такой операции служит так называемая Лычковская операция, в ходе которой войска армии получили задачу разгромить лычковскую группировку противника и овладеть участком железной дороги Лычково — Кневицы, с тем, чтобы по линии Валдай — Пола наладить снабжение 11-й и 34-й армий. 17 сентября 1942 года войска армии перешли в наступление, оказавшееся в конечном итоге безуспешным.
В течение февраля-марта 1943 года участие армии в операции ограничивалось преследованием отходящих из Демянска войск противника и боями с оставленными им арьергардами. Уже к 28 февраля 1943 года 34-я армия вышла к Ловати. Линия фронта существенно сократилась, и в начале марта полевое управление армии было переброшено под Старую Руссу.
С 18 марта 1943 года армия, сменив совершенно обескровленную 27-ю армию, штурмует Старую Руссу. Ей противостояли пять дивизий в первой линии на рубеже деревень Ужин, Медведно, Бряшная Гора, Соболево, Деревково на Порусье. Наступление проходило в тяжёлых природных условиях, в тумане и дожде, что ограничивало применение авиации.
Наступление 18 марта 1943 года было отбито, возобновлено 20 марта 1943 года, войска армии смогли отбить несколько населённых пунктов, немного приблизившись к Старой Руссе, но освободить город не удалось опять.
В мае-сентябре 1943 года Виктор Анатольевич Бурнашев, уже в звании гвардии капитана интендантской службы продолжил воевать в составе 8-й гвардейской бригады тяжелых минометов на должности заведующего делопроизводством штаба бригады. В это время соединение было переброшено на Брянский фронт, где бригада участвовала в освобождении Брянска.
С сентября 1943 года и до самой Победы он служил помощником командира батальона по снабжению 24-й гвардейской механизированной бригады 7-го гвардейского механизированного Нежинско-Кузбасского ордена Суворова корпуса на 1-м Украинском и 3-м Белорусском фронтах.
К 19 сентября 1943 года корпус сосредотачивается в районе Ромны, к 22 сентября – в районе Переяслава. В конце сентября – октябре 43-го корпус в составе 3-й танковой армии ведет бои на Букринском плацдарме. 5 ноября корпус освобождает Святошино, 6 ноября входит в Киев.
В декабре 1943 года корпус был выведен в резерв Ставки и лишь в сентябре 1944 года был передан в состав 3-го Белорусского фронта. К началу Висло-Одерской операции в январе корпус находится в резерве командующего войсками 1-го Украинского фронта. В марте 1945 года части корпуса входят в созданную Южную (Ратиборгскую) ударную группировку в Чехии. Судьба этого прославленного соединения самым прямым образом сказалась на биографии Анатолия Викторовича Бурнышева — в самом конце войны, в начале мая 1945 года, части 7-го корпуса попали в полуокружение под городом Баутцен в Германии, и в результате тяжелых боев корпус практически перестал существовать. Однако, Анатолию Викторовичу удалось выжить и дойти с боями до Праги.
За честную службу, мужество и храбрость он был удостоен ордена Красной Звезды, медали «За освобождение Праги» и «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» .
Вернувшись в родной Майкоп в 1947 году, Анатолий Бурнышев работает в профсоюзных организациях, затем до 1950 года - инструктором, заведующим сектором Адыгейского обкома ВКП (б). После окончания курсов Высшей партшколы при ЦК КПСС его в 1952 году назначают заместителем заведующего отделом пропаганды и агитации Адыгейского обкома КПСС. А вскоре он переходит на работу в только что созданный Адыгейский государственный педагогический институт на должность заместителя директора по заочному образованию, где затем до ухода из жизни в 1966 году работал старшим преподавателем, доцентом кафедры истории КПСС. Сферой его научных интересов стали новейшая история Адыгеи, вопросы развития областной партийной организации. В 1958 году в Майкопе вышла в свет его монография «Культура рожденная Октябрем», посвященная вопросам социалистических преобразований в сфере культуры в Адыгейской автономной области.