Попробую время от времени разбирать интересные на мой взгляд задачи старых экзаменов по математике.
В журнале "Квант" с момента его появления в 1970-м публиковались варианты вступительных экзаменов многих вузов. В номере, откуда я взял варианты МВТУ им. Баумана, есть варианты из еще нескольких вузов.
Задачи №2 ,3, 4 варианта 1 и задачи №2, 3 варианта 2, пожалуй, проще, чем то, что предлагается во второй части ЕГЭ на эти темы. Правда, тогда их должны были решать все абитуриенты, и все должны были записывать решения. Как правило - не зная заранее, на какую тему будет задача с данным номером.
Задача №1 из первого варианта определенно "нестандартная", если смотреть с нынешних позиций. Ей мы сегодня и займемся.
Первое, что хочется сделать, находясь в домашних условиях, - начертить чертеж в GeoGebra. Рисуем параболу y=x²/2, прямую y=x/2-1, касательные, проведенные из точки на прямой. Вот что мы увидим, если будем двигать точку по прямой.
Требуется найти точку, в которой касательные перпендикулярны. На компьютерном чертеже её и так видно, но, даже если бы ответ удалось угадать, это, скорее всего, не прибавило бы баллов на экзамене.
Сначала решим задачу "в лоб".
Решение 1
Пусть на прямой выбрана точка X = (a, a/2-1). Из нее проведены касательные в точки A₁, A₂, лежащие на параболе. Найдем координаты этих точек.
Что означает условие касания прямой и кривой? Вектор скорости точки, движущейся по кривой, должен быть коллинеарен касательной в точке. Пусть точка P(t) на параболе y=x²/2 в момент времени t имеет координаты P(t)= (t, t²/2). Тогда координаты вектора скорости (1, t). Отлично, это упростит дальнейшие вычисления.
Вектор XA₁ должен быть коллинеарен вектору скорости в точке A₁, аналогично для A₂. Можно составить пропорцию, пользуясь тем, что вторая координата отлична от нуля. Или, что то же самое, приравнять к нулю определитель
Теперь мы можем выразить координаты обеих точек касания через a. Осталось приравнять к нулю скалярное произведение векторов XA₁, XA₂. Для краткости не будем сразу подставлять значение d.
Ответ: X = (a, a/2-1) = (1, -1/2).
Ничего страшного, но техника должна быть на высоте, а соображения из аналитической геометрии (и чуть-чуть из физики) - наготове.
Решение 2
Ту же задачу можно было решать, пользуясь геометрическим определением параболы.
Параболой называется множество точек, расстояния от которых до фиксированных точки и прямой равны. Эти точка и прямая называются фокусом и директрисой параболы соответственно.
Откроем замечательную книгу А.В. Акопяна и А.А. Заславского "Геометрические свойства кривых второго порядка" (ссылка на pdf).
Значит, искомая точка - это пересечение директрисы параболы с прямой x-2y=2. А что такое фокус и директриса, если парабола задана формулой? Если знать формулу, написанную в той же книге на с. 11, то сразу понятно, что фокус в нашем случае находится в точке F=(0,1/2), а уравнение директрисы y=-1/2.
Если не знать, можно воспользоваться оптическим свойством параболы: каждый луч, параллельный оси ординат, после отражения пройдет через фокус. Луч, который после отражения от параболы становится горизонтальным, отражается в той точке, где вектор скорости из предыдущего решения образует угол 45° с осью абсцисс. Это происходит в точке (1, 1/2). Значит, 1/2 - ордината фокуса.
Теперь находим точку пересечения. y=-1/2, x-2y=2, значит, x=2+2y=1. Как ни странно, получился тот же самый ответ: X=(1,-1/2).
Может, я что-то упустил, и эта задача решается проще? Если так, напишите. Ну, а самая трудоемкая задача из этого варианта - конечно, последняя. Прикладная задача по стереометрии с поиском максимума функции через производную. Ее решение я прокомментирую как-нибудь в другой раз.