Часть 1
Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений.
Например, 195/65 R15 (см. рис. 1).
Первое число (число 195 в приведенном примере) обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр В на рисунке 2).
Второе число (число 65 в приведенном примере) – процентное отношение высоты боковины (параметр H на рисунке 2) к ширине шины, то есть
За обозначением типа конструкции шины идет число, указывающее диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.
Завод изготавливает легковые автомобили определенной модели и устанавливает на них колеса с шинами маркировки 185/55 R15.
1. Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешенные размеры шин.
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 14 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение:
Ширину шин определяем по таблице, диаметру диска в 14 дюйм соответствует два значения ширины – это 185 и 195 мм. Наименьшее значение – 185.
ОТВЕТ: 185 мм.
2. На сколько миллиметров радиус колеса с шиной маркировки 195/55 R15 больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 205/50 R15?
Решение:
Найдем формулу для общего диаметра колеса D.
Судя по рисунку 2, D= 25,4d+2H
Процентное отношение высоты боковины к ширине шины обозначим как m: m=100H/B
Из формулы выразим H:
H=mB/100, где m– второе число в маркировке.
D = 25,4d +2*(mB/100)=25,4d+mB/50
Для первого колеса
D1 = 25,4*15+55*195/50
Для второго колеса
D2 = 25,4*15+50*205/50
Разность диаметров:
D1- D2=(25,4*15+55*195/50)-(25,4*15+50*205/50)=
=25,4*15-25,4*15+55*195/50-50*205/50=
=(55*195-50*205)/50.
55*195=195(50+5)=9750+975=10725
50*205=10250
10725-10250=725-250=475
D1-D2=475/50=47,5/5=9,5
Разность радиусов равна разности диаметров, деленной на 2:
R1-R2=(D1-D2)/2=9,5/2=4,75
ОТВЕТ: 4,75 мм
3. На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колеса, установленные на заводе, колесами с шинами маркировки 195/55 R14?
Решение:
Напомним, что заводские колеса маркируются 185/55 R15
Нужно найти разность между диаметром заводских шин и диаметром замененных колес.
Используем формулу, выведенную ранее:
Для заводской шины:
D1=25,4*15+55*185/50
Для замененной шины:
D2=25,4*14+55*195/50
D1-D2=25,4*15-25,4*14+55*185/50-55*195/50=25,4*(15-14)+ 55*185/50-55*195/50
55*185-55*195=55*(185-195) = 55*(-10) =-550
-550/50=-11
D1-D2=25,4-11=14,4
ОТВЕТ: 14,4 мм
4. Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода
Решение:
По выведенной ранее формуле для заводской маркировки 185/55 R15 имеем:
D = 25,4*15+55*185/50=25,4*(10+5)+55*18,5/5=
=254+127,0+11*18,5=381+18,5*(10+1)=381+185+18,5=
=584,5
ОТВЕТ: 584,5 мм
5. Андрей планирует заменить зимнюю резину на летнюю на своем автомобиле. Для каждого из четырех колес последовательно выполняются четыре операции: снятие колеса, замена шины, балансировка колеса и установка колеса. Он выбирает между автосервисами А и Б. Затраты на дорогу и стоимость операций даны в таблице.
Сколько рублей заплатит Андрей за замену резины на своем автомобиле, если выберет самый дешевый вариант?
Решение:
Вычислим затраты для каждого автосервиса и сравним полученные числа:
Затраты на операции в автосервисе А:
Для одного колеса: 65+220+230+65=130+550=680 руб.
Для 4 колес: 680*4=2730 руб.
Полные траты на замену резины в автосервисе А:
240+2730=2970 руб.
Затраты на операции в автосервисе Б:
Для одного колеса: 58+190+200+58=116+390=506 руб.
Для 4 колес: 506*4=2024 руб.
Полные траты на замену резины в автосервисе Б:
380+2024=2404 руб.
В автосервисе Б дешевле, так как:
2404<2970
ОТВЕТ: 2404 руб.
6. Найдите значение выражения
Решение:
Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 52 и 26
Не трудно заметить, что 52=2*26. Отсюда наименьшее общее кратное – 52.
ОТВЕТ: 0,25.
7. Какое из данных чисел принадлежит отрезку [7;8]?
ОТВЕТ: 3.
ОТВЕТ: 441.
9. Решите уравнение 7x+4=-3x
Решение:
Перенесем выражение с неизвестным в левую часть, а число в правую часть, при этом не забыв изменить знак на противоположный.
7x+3x=-4
x(7+3)=-4
10x=-4
ОТВЕТ: -0,4.
10. Из урны, в которой находятся 4 белых шара и 12 черных шаров, вынимают один шар. Найдите вероятность того, что шар окажется черным.
Решение:
Вероятностью выпадения черного шара равна отношению количества черных шаров к общему количеству шаров.
ОТВЕТ: 0,75.
11. Установите соответствие между функциями и их графиками (см. рис. 3)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер
ОТВЕТ: 312.
12. Расстояние S (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле S=330t, где t – количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t=8 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
Решение:
Находим расстояние в метрах, подставив время в формулу:
S=330t=330*8=2640 м
В 1 км = 1000 м, следовательно:
S=2640/1000=2,640 км
Округляем до целых (после 2 идет 6, которая больше 5):
S~3 км
ОТВЕТ: 3.
13. Укажите решение неравенства 12-7(x+5)<16-4x
Решение:
12-7x-35<16-4x
12-35-16<7x-4x
3x>-39
x>-13
xϵ(-13; +∞)
ОТВЕТ: 3.
14. Андрей написал на доске последовательность чисел. Первое число равно (-14), а каждое следующее на 6 больше, чем предыдущее. Найдите сумму первых 11 членов этой последовательности.
Решение:
Последовательность чисел, записанная Андреем является арифметической прогрессией, для которой справедливы формулы:
В нашем примере n=11, d=6, a1=-14
Найдем 11 член последовательности:
a11=(-14)+6*(11-1)=60-14=46
Тогда сумму первых 11 членов прогрессии:
ОТВЕТ: 176.
15. В остроугольном треугольнике АВС проведена высота СН,
(см. рис. 4). Найдите угол ВСН. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Треугольник ВHC - прямоугольный, угол ВНС=90, и сумма двух других углов 90 (<HBC+<BCH=90), <АВС=<НВС=36 как совпадающие:
<BCH+36=90
<BCH=90-36=54
ОТВЕТ: 54.
16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен
(см. рис. 5). Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение:
Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата
Также диагональ делит квадрат на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольника (d=2r)
По теореме Пифагора в нашем случае имеем:
ОТВЕТ: 16.
17. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 56 и одна из его сторон на 6 больше другой (см. рис. 6).
Решение:
Пусть меньшая сторона (ширина) прямоугольника - x, тогда длина будет x+6.
Периметр прямоугольника:
P=2*(x+(x+6))=56
2*(2x+6)=56
4x+12=56
4x=56-12=44
x=11
Площадь прямоугольника:
S=x*(x+6)=11*(11+6)=11*17=170+17=187 кв. ед.
ОТВЕТ: 187.
18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С (см. рис. 7). Найдите расстояние от точки В до прямой АС. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Проведем отрезок АС и проведем высоту из точки В к нему.
Длина высоты и будет искомым расстоянием
Из рисунка видно, что высота занимает 3 клетки.
ОТВЕТ: 3.
19. Какие из следующих утверждений верны?
1) Противоположные углы параллелограмма равны
2) Биссектриса угла делит угол пополам
3) Смежные углы равны
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
1) Противоположные углы параллелограмма равны
У параллелограмма попарно противоположные стороны параллельны
Каждая прилежащая сторона является секущей
Отметим углы в параллелограмме, предположив, что они разные:
Если сторону СD передвигать в сторону АВ, не меняя угол наклона, то она может совпасть со стороной АВ.
И если сторону АD продлить влево до точки К.
Угол КАВ равен углу АВС как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и КD и секущей АВ. В свою очередь угол КАВ равен углу АDС.
Откуда <ADC =<ABC, а они являются противоположными углами.
Утверждение 1) верно
2) Биссектриса угла делит угол пополам - утверждение верно, так как это само определение биссектрисы.
3) Смежные углы равны - по определению сумма смежных углов равна 180 градусов, они равны только, когда каждый из них равен 90 градусов.
Смежные углы не всегда равны между собой. Например: 45+135=180.
Утверждение 3) не выполняется.
ОТВЕТ: 12.
Часть 2
20. Решите уравнение
Решение:
ОТВЕТ: x=-5, x=-4, x=4.
21. Два велосипедиста одновременно отправились в 180-километровый велопробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч больше, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость (в км/ч) второго велосипедиста.
Решение:
ОТВЕТ: 18.
22. Постройте график функции
и определите, при каких значениях p прямая y=p имеет с графиком две общие точки.
Решение:
Преобразуем уравнение функции:
Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0;5), из которой выброшены точки (0;5) и (-3; -4) (см. рис.245).
ОТВЕТ: p<-4 и -4<p<5.
23. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 2 и 10. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее в отношении 1:4.
Решение:
ОТВЕТ: 5.
24. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если середины его сторон последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
Решение:
В правильном шестиугольнике ABCDEF точки K, L и M – середины сторон AB, CD и FE соответственно (см. рис. 247).
25. Через середину D медианы AK треугольника ABC и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке T. Найдите отношение площади треугольника ABD к площади четырехугольника CKDT.
Решение:
ОТВЕТ: 3:5.
Используемая литература: Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ-2022. 40 тренировочных материалов по демоверсии 2022 года: учебно-методическое пособие / под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. О. Иванова. - Ростов н/Д: Легион, 2021. - 384 с. - (ОГЭ).
