О простых натуральных числах. Кочкарев Б. С.

Если мы все натуральные числа кроме числа 2 разобьем на классы в зависимости от того, какой остаток при делении на 4 получим, то образуются 4 класса. В один класс войдут все натуральные числа, которые без остатка делятся на 4. Второй класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Третий класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 и, наконец, четвертый класс образуют все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Очевидно, все простые натуральные числа окажутся во втором и четвертом классах. Все простые числа из второго класса являются суммами двух квадратов, а все простые числа из четвертого класса никогда таковыми не будут. Таким образом, все простые числа кроме числа 2 подразделяются на числа, представимые в виде 4к + 1 и числа, представимые в виде 4к - 1, где к - целое число. Самое маленькое простое число, представимое в виде 4к + 1, есть 5, а самое маленькое простое число, представимое в виде 4к - 1, есть 3. Все простые числа, представимые в виде 4к + 1 образуются из числа 5 добавлением к 5 числа 4 столько раз, пока не получится простое число. Таким образом, вторым простым числом, представимым в виде 4к + 1, будет 13 и так далее процесс образования простых чисел вида 4к + 1 продолжается. Таким образом, мы последовательно получаем простые числа вида 4к + 1 5, 13, 17, 29, ... . Аналогично получаются все простые числа вида 4к - 1 из самого маленького простого числа вида 4к - 1 3. Второе простое число вида 4к - 1 получается добавлением к первому числу 3 числа 4 столько раз, пока не получится простое число. Таким простым числом, очевидно, будет число 7 и так далее процесс получения простых чисел вида 4к - 1 продолжается. Таким образом, мы получим последовательно простые числа 3, 7, 11, 19, 23, ... . С уважением, Б. С. Кочкарев