Использование Эйнштейном римановой геометрии в своих уравнениях поля не является прямым следствием принципа эквивалентности. Существует промежуточная ступень между принципом эквивалентности и построением соответствующего описания метрики пространства-времени, шаг, который часто упускается из виду, но который является ключом к достижению подлинного понимания общей теории относительности.
Принцип эквивалентности гласит, что инертная масса и гравитационная масса равны друг другу. Это вытекает из очень простого уравнения, описывающего ускорение (а) частицы массой (m) под действием силы тяжести (g):
m a = mg ; а = г ;
Очевидно, что при уравновешивании масс ускорение свободного падения равно силе самого гравитационного поля. Тот факт, что ускорение частицы не зависит ни от одного из свойств частицы, наблюдается в природе только для частиц, движущихся под действием силы тяжести. Например, в случае электрической силы уравнение выглядит следующим образом:
a = (q/m)E
Эйнштейн понял, что в гравитационной силе есть что-то особенное, и осознал связь со странным свойством, вытекающим из принципа стационарного действия Гамильтона в классической механике. Принцип Гамильтона гласит, что из всех возможных траекторий, по которым может следовать частица, она будет следовать по траектории, которая делает ее действие неподвижным. Действие — интегральный функционал, заданный интегралом лагранжа по времени. Общим решением принципа Гамильтона являются уравнения Эйлера-Лагранжа. Оказывается, что при решении уравнений Эйлера-Лагранжа для свободной частицы (частицы, не находящейся под действием внешних сил), которая связана с поверхностью соответствующими силами ограничения, траектория, делающая действие стационарным, в точности совпадает с геодезической этой поверхностью.
Геодезическая - это траектория кратчайшего расстояния между двумя точками, содержащимися в поверхности. На плоскости (например, в плоском пространстве Минковского) геодезические линии представляют собой прямые линии. В сферической поверхности геодезические линии представляют собой линии меридианов. В торообразном пространстве геодезические представляют собой спиральные линии, показанные ниже:
Что так интересно в этом выводе, так это не тот факт, что пути, которые делают действие стационарным для свободной частицы, являются геодезическими поверхностями, к которой ограничена частица, а тот факт, что для свободной частицы масса может быть выведена из уравнений Эйлера-Лагранжа без изменения траектории частицы. точно так же, как масса может быть исключена из уравнения движения, не изменяя траекторию частицы. Это представляет собой мощную связь с принципом эквивалентности: существует геометрия пространства, в которой движение свободной частицы эквивалентно движению частицы под действием силы тяжести.
Это означает, что, хотя нам может понадобиться действительная сила с ее собственной потенциальной энергией, связанной с соответствующим лагранжианом, чтобы описать движение частиц под действием силы тяжести для обычного плоского метрического тензора, существует другой метрический тензор, который заставляет эту силу исчезать, и это позволяет нам описывать движение частицы так, как если бы на ее движение влияли только силы ограничения, связанные с этой метрикой.
Таким образом, гравитация — это всего лишь некоторая кривизна пространства-времени, которая отличается от обычной плоской метрики. С этого шага Эйнштейн начал выяснять, какая метрика является правильной для описания неплоского пространства-времени, на которое влияет гравитация. Именно здесь он осознал множество факторов, которые играют роль - источником гравитационной силы является не только масса, но и тензор напряжения-энергии, который содержит такие термины, как поток импульса, давление, напряжение, плотность энергии и т. Д. Из-за сложности тензора энергии напряжений и того факта, что влияние этого набора содержания энергии, вероятно, будет различным в разных точках пространства и времени, необходим тип геометрии, метрика которой изменяется от точки к точке, а именно римановая геометрия.