Для тех, кто знаком комбинаторикой, эта задача будет слишком простой, и даже не занимательной, а самой обычной. Но здесь интереснее кое-какие выводы, которые получаются при рассмотрении задачи.
У вас есть закрытые ящики с разными количеством пронумерованных шаров - от 2 до 12. Вы случайным образом вынимаете из ящика 2 шара (по очереди). Сколько различных пар шаров вы можете вынуть из каждого ящика?
Ответ, как обычно, ищите ниже
↓
↓
↓
Итак, это одна из простых задач по комбинаторике, которая решается по формуле числа сочетаний без повторений (это важно, что без повторений!):
где C - число возможных сочетаний, n - общее количество объектов, k - количество объектов, взятых случайным образом из n. По этой формуле вычислим все возможные сочетания для каждой коробки:
- с 2 шарами - 1 сочетание (очевидно, что вы берете сразу оба шара)
- с 3 шарами - 3 сочетания
- с 4 шарами - 6 сочетаний
- с 5 шарами - 10 сочетаний
- с 6 шарами - 15 сочетаний
- с 7 шарами - 21 сочетание
- с 8 шарами - 28 сочетаний
- с 9 шарами - 36 сочетаний
- с 10 шарами - 45 сочетаний
- с 11 шарами - 55 сочетаний
- с 12 шарами - 66 сочетаний
В этом ряду нетрудно заметить простую зависимость: с добавлением одного шара общее количество сочетаний увеличивается на число шаров, которое было до добавления. Например, с 4 шарами возможно 6 сочетаний, а с 5 шарами - уже 10 сочетаний - то есть, на 4 сочетания больше, чем с 4 шарами. Почему так происходит? Всё довольно просто: каждый новый шар может сочетаться с любым из уже имеющихся, ни больше, и не меньше. Вот и получается, что новый шар, прибавляемый в ящик с 4 шарами, даёт 4 новых сочетания, и в сумме их становится 10.
Но благодаря математике во всех этих расчётах нет большого смысла, так как формулы позволяют получить ответ за считанные секунды.