Математики Томского государственного университета разрабатывают геометрические методы нахождения нижних и верхних оценок для энергетических уровней квантового биллиарда. Полученные методы можно будет применять, например, в акустике, физике лазеров и наноматериалов и других областях науки и техники, где требуется оценка изменения траекторий динамики квантовой частицы. Этот проект развивает современное представление о квантовом биллиарде и соответствует мировому уровню фундаментальных научных исследований.
Проект «Развитие геометрических методов оценки энергетических уровней квантового биллиарда» поддержан грантом Российского научного фонда.
Ученые механико-математического факультета Томского государственного университета начали работу над фундаментальным научным проектом, связанным с развитием геометрических методов нахождения нижних и верхних оценок для энергетических уровней квантового биллиарда с границами из широкого класса областей. Модель квантового биллиарда востребована во многих областях науки и техники – это геометрическая оптика, акустика, физика лазеров, полупроводников и наноматериалов.
Модель точечной частицы, движущейся по плоской поверхности в некоторой ограниченной области, называется плоским биллиардом, а его квантовый аналог – квантовым биллиардом, поясняет руководитель проекта, доцент кафедры математического анализа и теории функций ММФ ТГУ Валерий Пчелинцев. Примером двумерного квантового биллиарда является биллиард в форме стадиона. Динамика такой системы очень сильно зависит от формы области на плоскости.
– Известно, что движение шарика в интегрируемых биллиардах – это комбинация двух независимых периодических движений. Например, в круглом биллиарде это движение вдоль радиуса и угловое движение по окружности вокруг центра. Расстояние между соседними траекториями линейно увеличивается со временем, – говорит руководитель проекта. – Качественно иная ситуация для квантовых биллиардов: остается только одна постоянная движения – полная энергия, и расстояние между соседними траекториями экспоненциально увеличивается со временем.
Для круга, прямоугольника, равностороннего треугольника и некоторых других специальных областей получены точные значения энергетических уровней – собственных значений энергии квантовых систем. В общем случае таких результатов пока нет, добавляет ученый.
Доцент кафедры математического анализа и теории функций ММФ ТГУ Валерий Пчелинцев
– Новые методы, в том числе геометрические, помогут оценить энергию возбужденных состояний биллиарда, то есть область изменения траекторий динамики квантовой частицы. Для исследования энергетического спектра квантового биллиарда мы планируем развить геометрический метод в теории вложения пространств Соболева, – поясняет Валерий Пчелинцев.
Математики ТГУ разработают геометрический метод нахождения нижней и верхней оценок энергетических уровней квантового биллиарда, применимый для широкого класса областей: выпуклых, областей с гельдеровыми особенностями, областей типа Альфорса и других. Затем при помощи этого метода найдут нижние и верхние оценки энергетических уровней квантового биллиарда для конкретных областей, представляющих физический или математический интерес. Также ученые при помощи разработанного метода исследуют устойчивость энергетических уровней квантового биллиарда при деформации его области.
Исследователи планируют опубликовать основные результаты проекта в высокорейтинговых журналах по математической физике и выступить на международных и всероссийских научных конференциях с докладами по тематике исследования.
Научный коллектив проекта: доцент кафедры математического анализа и теории функций механико-математического факультета ТГУ Валерий Пчелинцев (руководитель), доцент Иван Колесников и аспирантка Яна Борисова.