Робастность - это свойство статистического метода, характеризующее независимость влияния на результат исследования различного рода выбросов, устойчивость к помехам. Выбросоустойчивый алгоритм способен обрабатывать данные с выбросами и не допускать сильного искажения результата.
Выбросоустойчивые алгоритмы - это алгоритмы, которые могут обрабатывать данные с выбросами и не допускать сильного искажения результата. Они могут использоваться в различных областях, таких как статистика, эконометрика и машинное обучение. Вот некоторые из них:
- Метод наименьших квадратов (Least Squares Method)
- Метод наименьших модулей (Least Absolute Deviations Method)
- Метод Хьюбера (Huber Method)
- Метод Тьюки (Tukey Method)
Например, метод наименьших квадратов (Least Squares Method) является одним из самых распространенных методов регрессии. Он минимизирует сумму квадратов остатков между наблюдаемыми значениями и прогнозируемыми значениями. Метод наименьших модулей (Least Absolute Deviations Method) также используется для регрессии и минимизирует сумму абсолютных значений остатков. Метод Хьюбера (Huber Method) является гибридом метода наименьших квадратов и метода наименьших модулей и позволяет балансировать между ними. Метод Тьюки (Tukey Method) используется для обнаружения выбросов в данных.
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (Least Squares Method) - это метод оценки параметров регрессии, который минимизирует сумму квадратов остатков. Он используется для решения задач регрессии в случае, когда данные не содержат выбросов или ошибок.
Для вычисления метода наименьших квадратов необходимо выполнить следующие шаги:
- Выбрать функцию потерь (loss function), которая будет минимизироваться. В случае метода наименьших квадратов функция потерь - это сумма квадратов остатков.
- Выбрать оптимизационный алгоритм, который будет использоваться для минимизации функции потерь. Обычно используются методы градиентного спуска или методы Ньютона.
- Вычислить параметры регрессии, которые минимизируют функцию потерь.
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def least_squares(x, y):
def loss_function(beta):
return np.sum((y - x.dot(beta)) ** 2)
beta_0 = np.zeros(x.shape[1])
result = minimize(loss_function, beta_0)
return result.x
x = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
y = np.array([3, 7, 11])
beta = least_squares(x, y)
print(beta)
В этом примере мы используем библиотеку NumPy для создания матрицы x и вектора y. Затем мы определяем функцию потерь loss_function, которая вычисляет сумму квадратов остатков. Мы используем функцию minimize из библиотеки SciPy для минимизации функции потерь. Наконец, мы выводим результаты.
Метод наименьших модулей
Метод наименьших модулей (Least Absolute Deviations Method) - это метод оценки параметров регрессии, который минимизирует сумму абсолютных значений остатков. Он используется для решения задач регрессии в случае, когда данные содержат выбросы или ошибки.
Для вычисления метода наименьших модулей необходимо выполнить следующие шаги:
- Выбрать функцию потерь (loss function), которая будет минимизироваться. В случае метода наименьших модулей функция потерь - это сумма абсолютных значений остатков.
- Выбрать оптимизационный алгоритм, который будет использоваться для минимизации функции потерь. Обычно используются методы градиентного спуска или методы Ньютона.
- Вычислить параметры регрессии, которые минимизируют функцию потерь.
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def least_absolute_deviations(x, y):
def loss_function(beta):
return np.sum(np.abs(y - x.dot(beta)))
beta_0 = np.zeros(x.shape[1])
result = minimize(loss_function, beta_0)
return result.x
x = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
y = np.array([3, 7, 11])
beta = least_absolute_deviations(x, y)
print(beta)
В этом примере мы используем библиотеку NumPy для создания матрицы x и вектора y. Затем мы определяем функцию потерь loss_function, которая вычисляет сумму абсолютных значений остатков. Мы используем функцию minimize из библиотеки SciPy для минимизации функции потерь. Наконец, мы выводим результаты.
Метод Хьюбера
Метод Хьюбера (Huber Method) - это гибридный метод, который является комбинацией метода наименьших квадратов и метода наименьших модулей. Он позволяет балансировать между ними.
Для вычисления метода Хьюбера необходимо выполнить следующие шаги:
- Выбрать функцию потерь (loss function), которая будет минимизироваться. В случае метода Хьюбера функция потерь - это кусочно-линейная функция, которая переходит от квадратичной функции к линейной функции в зависимости от значения остатка.
- Выбрать оптимизационный алгоритм, который будет использоваться для минимизации функции потерь. Обычно используются методы градиентного спуска или методы Ньютона.
- Вычислить параметры регрессии, которые минимизируют функцию потерь.
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def huber(x, y):
def loss_function(beta):
r = y - x.dot(beta)
return np.sum(np.where(np.abs(r) < 1, 0.5 * r ** 2, np.abs(r) - 0.5))
beta_0 = np.zeros(x.shape[1])
result = minimize(loss_function, beta_0)
return result.x
x = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
y = np.array([3, 7, 11])
beta = huber(x, y)
print(beta)
В этом примере мы используем библиотеку NumPy для создания матрицы x и вектора y. Затем мы определяем функцию потерь loss_function, которая вычисляет сумму кусочно-линейной функции потерь Хьюбера. Мы используем функцию minimize из библиотеки SciPy для минимизации функции потерь. Наконец, мы выводим результаты.
Метод Тьюки
Метод Тьюки (Tukey Method) - это метод оценки параметров регрессии, который минимизирует влияние выбросов на результаты. Он используется для решения задач регрессии в случае, когда данные содержат выбросы или ошибки.
Для вычисления метода Тьюки необходимо выполнить следующие шаги:
- Выбрать функцию потерь (loss function), которая будет минимизироваться. В случае метода Тьюки функция потерь - это кусочно-линейная функция, которая переходит от квадратичной функции к линейной функции в зависимости от значения остатка.
- Выбрать оптимизационный алгоритм, который будет использоваться для минимизации функции потерь. Обычно используются методы градиентного спуска или методы Ньютона.
- Вычислить параметры регрессии, которые минимизируют функцию потерь.
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
def tukey(x, y):
def loss_function(beta):
r = y - x.dot(beta)
c = 4.685
w = np.where(np.abs(r) < c, (1 - (r / c) ** 2) ** 2, 0)
return np.sum(w * r ** 2)
beta_0 = np.zeros(x.shape[1])
result = minimize(loss_function, beta_0)
return result.x
x = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
y = np.array([3, 7, 11])
beta = tukey(x, y)
print(beta)
В этом примере мы используем библиотеку NumPy для создания матрицы x и вектора y. Затем мы определяем функцию потерь loss_function, которая вычисляет сумму кусочно-линейной функции потерь Тьюки. Мы используем функцию minimize из библиотеки SciPy для минимизации функции потерь. Наконец, мы выводим результаты.
Робастность стратегии
Робастность алгоритма по PnL можно рассчитать с помощью медианного дохода (Median Income) и медианного отклонения (Median Absolute Deviation). Медианный доход - это медианное значение всех доходов за определенный период времени. Медианный доход используется в качестве меры центральной тенденции, которая не чувствительна к выбросам. Медианное отклонение - это медианное значение всех абсолютных отклонений от медианного дохода. Медианный доход и медианное отклонение используются для расчета робастности алгоритма по PnL.
Вот пример на Python для расчета медианного дохода и медианного отклонения:
import numpy as np
def robust_statistics(pnl):
median_income = np.median(pnl)
mad = np.median(np.abs(pnl - median_income))
return median_income, mad
pnl = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
median_income, mad = robust_statistics(pnl)
print("Median Income:", median_income)
print("Median Absolute Deviation:", mad)
В этом примере мы используем библиотеку NumPy для создания массива pnl. Затем мы определяем функцию robust_statistics, которая вычисляет медианный доход и медианное отклонение. Наконец, мы выводим результаты.