Формула описывает суперпозицию всех возможных состояний системы с равной вероятностью.
(1/√2)Σ|x⟩ + (1/√2)Σ|y⟩ + (1/√2)Σ|z⟩
где:
|x⟩, |y⟩ и |z⟩ - различные квантовые состояния системы. Для обоснования данной формулы, сначала заметим, что для любого кет-вектора |ψ⟩, его нормированным значением является ⟨ψ|ψ⟩=1. Также, по определению суперпозиции, любое кет-состояние системы может быть представлено как линейная комбинация других кет-состояний:
|x⟩= a|x⟩ + b|y⟩ + c|z⟩
|y⟩= d|x⟩ + e|y⟩ + f|z⟩
|z⟩= g|x⟩ + h|y⟩ + i|z⟩
где a,b,c,d,e,f,g,h,i - коэффициенты линейной комбинации.
Тогда, суммируя все возможные линейные комбинации и умножая на (1/√2), получаем:
(1/√2)Σ|x⟩ + (1/√2)Σ|y⟩ + (1/√2)Σ|z⟩
= (1/√2)(a+b+c)|x⟩ + (1/√2)(d+e+f)|y⟩ + (1/√2)(g+h+i)|z⟩
= (1/√2)(|x⟩ + |y⟩ + |z⟩)
То есть, общее квантовое состояние системы будет представлено как суперпозиция трех различных состояний с равными коэффициентами (1/√2) и будет иметь вид (1/√2)(|x⟩ + |y⟩ + |z⟩).
Для расчета данной формулы также необходимо использовать формулы для алгебраической суммы и разности векторов, а именно:
(a+b)|x⟩ = a|x⟩ + b|x⟩
(a-b)|x⟩ = a|x⟩ - b|x⟩
Тогда:
(1/√2)Σ|x⟩ + (1/√2)Σ|y⟩ + (1/√2)Σ|z⟩
= (1/√2)(|x⟩ + ... + |x⟩) + (1/√2)(|y⟩ + ... + |y⟩) + (1/√2)(|z⟩ + ... + |z⟩)
= (1/√2)(|x⟩ + |x⟩ + ... + |y⟩ + ... +|z⟩ + ... + |z⟩)
= (1/√2)(|x⟩ + |y⟩ + |z⟩)
где знаки "..." означают, что каждое из кет-состояний повторяется столько раз, сколько их коэффициент в сумме.
Создал формулу Исаенко Вадим Валерьевич.