Любому человеку, который планирует хоть как-то связать свою жизнь с математикой, предстоит столкнуться с понятием производной. Обычно дифференцировать начинают уже в школе, однако даже при обучении в ВУЗе у многих студентов возникают проблемы со взятием производной. В этой статье мы попробуем на базовом уровне разобраться с этим понятием и правилами дифференцирования.
Давайте сначала приведем основное (страшное) определение производной:
Производная функции — понятие, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к 0 (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
По сути значение производной в точке показывает как быстро изменяется (растет или убывает) функция в этой самой точке. При взятии производной мы получаем какую-то новую функцию, которая отвечает именно за скорость изначальной. Но так как определение обычно мало кого интересует, давайте разберемся как же именно находится эта самая производная и порешаем некоторые задачки.
Вот есть такая замечательная табличка, которая всем элементарным функциям сопоставляет их производные. Её обычно нужно просто один раз заучить и этого Вам хватит на все обучение в школе, а может и даже в ВУЗе) А ещё к этой таблице обязательно нужно добавить основные правила дифференцирования:
В общем, опять какие-то жуткие формулы и ничего не понятно.
В этой статье мы не будем разбирать разные виды заданий, которые как-то связаны с нахождением производной, а именно научимся дифференцировать функции.
Первое, что нужно помнить: производная от константы (постоянной функции - то есть той, которая вообще не изменяется (ни растет, ни убывает)) - всегда 0!
Этому факту отвечает и первая строка в табличке) Если Вы разобрались с константой, то точно теперь поймете, о чем этот мем
Еще одно важное правило- если константа умножается на любую функцию, то с ней ничего не происходит и она просто выносится из под дифференцирования (это наше второе правило) :
Теперь поговорим про степенную функцию. Именно такие функции самые частые в использовании, и точно нужно уметь работать с ними. Правило дифференцирования степенных функций указано четвёртым в таблице, смысл его состоит в том, что текущая степень выносится в константу, а новая степень аргумента будет на 1 меньше. Давайте посмотрим на этот мем:
Именно он отражает правило дифференцирования степенной функции.
Разберемся, что же тут происходит. Качок Доге - это х, именно по нему мы и будем дифференцировать. 2 Чимса - степень функции, по правилам мы должны вынести её в начало, а оставить степень на единичку меньше, то есть теперь на Качке у нас остался лишь один Чимс.
Ну, думаю со степенными функциями более-менее понятно. Далее по популярности использования у нас идут тригонометрические функции: cos(x) и sin(x). Они как два брата-акробата всегда идут вместе. Синус при дифференцировании даст косинус, а вот косинус немного предатель и при дифференцировании даст -синус и об этом часто забывают.
Есть вот такой мем:
Он показывает, что уже через 4 дифференцирования мы вернемся к нашей начальной функции) Вообще говоря, это очень удобное свойство и оно много где применяется.
Но есть функция, которая бьёт все рекорды - экспонента! Она вообще не меняется при дифференцировании, то есть производная от e^x это просто e^x. Даже не нужно ничего запоминать)
Давайте посмотрим теперь наши любые мемы:
При этом производную можно брать от экспоненты сколько угодно - ей все равно ничего не будет)
Таким образом, мы разобрались с основными элементарными функциями, но обычно в заданиях встречаются различные их комбинации, поэтому давайте попробуем порешать что-то более сложное)
Начнем с многочленов - это сумма различных степенных функций. При этом по 1 и 3 правилу дифференцирования мы видим, что знак суммы или разности ни на что не влиет, и можно просто брать производную от каждой функции отдельно. Именно этим мы воспользуемся и разберем пример из мема:
У нас есть многочлен и каждый раз мы берем от него производную. При этом нужно помнить, что производная от константы 0! Используем наши знания о дифференцировании степенной функции и распишем все вычисления:
А теперь вопрос: что будет результатом при взятии третьей производной от нашей функции?
Ответ: 6
А четвертой?
Ответ: 0 (так как 6- это просто константа)
Разберём ещё один пример:
Это уже посложнее, так как придётся использовать правило дифференцирования произведения (4 в списке). Наша функция является произведением функции х на функцию е^х. Обозначим их как u и v и воспользуемся формулой.
Распишем все вычисления, учитывая, что экспонента не меняется при взятии производной.
Теперь мы видим, что комбинация функций может не только не упрощаться, а даже давать довольно сложные комбинации.
И теперь без шуток - разберем последний пример из 11 задания ЕГЭ по математике:
Здесь мы используем формулу для производной логарифма, при этом так как под ним стоит не просто х, а (х+5)^5, то лучше ввести новую переменную, которая будет зависеть от х, и применить формулу дифференцирования сложной функции (последняя в нашем списке). Потом мы делаем обратную замену и возвращаем всё на свои места)
Чтобы совсем сломать мозг, попробуйте найти производную функции:
Если Вам это удалось, можете считать себя настоящим гуру математики)
Хорошего дня!