Давайте еще раз вернемся к старой теме, которая не раз обсуждалась в статьях. О грани между дискретным и аналоговым. И влиянии на все это шкал. Просто в комментариях к первой статье цикла об аналоговых вычислительных машинах
возникла новая дискуссия. И поднятый в этой дискуссии вопрос не только интересен, но и далеко не так прост, как может показаться на первый взгляд. В комментариях можно высказать свою точку зрения, но наглядно ее аргументировать сложно. Да и размер комментария ограничен.
Суть вопроса поднятого в дискуссии
Все началось вот с этого утверждения читателя:
- "логарифмическая линейка не совсем аналоговая. На ней есть деления. Поэтому линейка тоже квантованная, т.е. дискретная." Цитата дословная.
Это неверно, что я и указал в ответном комментарии. В ответ читатель детализировал свою точку зрения:
- "вы можете представить себе логарифмическую линейку без шкалы? Именно шкала делает линейку логарифмической и пригодной для вычисления произведения." Цитата дословная.
Действительно, логарифмическая линейка имеет шкалу, даже несколько шкал. И шкала создает дискретность, что я неоднократно показывал в статьях. Но принцип работы логарифмической линейки лишь частично кроется в тонкостях построения шкалы. В основе лежит взаимное расположение реек, на которые нанесена шкала. И это взаимное расположение непрерывно, оно аналоговое. Но читатель привел в подтверждение своей точки зрения еще один аргумент:
- "логарифмическая линейка по сути просто таблица. Таблица умножения, таблица логарифмов, таблица синусов. Просто в удобном виде. Меняете количество и расположение рисок - получаете другие действия (табличные).". Цитата дословная.
Это кажется логичным, на первый взгляд. Но принцип работы логарифмической линейки отнюдь не табличный. Ее нельзя считать тождественной таблицам. Но дискуссия продолжается:
- "Кроме считывания есть еще и ввод значений и тут тоже без рисок никак. Т.е. при вводе мы должны оцифровать (дискретизировать) исходные значения. А взаимное положение реек ничего не означает в отсутствие шкалы. Все дело в шкалах, которая по сути таблица" Цитата дословная.
И опять невозможно отказать в логичности, но лишь на первый взгляд. Поскольку ввод чисел совершенно не требует наличия шкалы. И я сегодня это покажу наглядно. Но это не конец дискуссии, читатель приводит еще один аргумент:
- "Вот скажите, какое именно действие выполнят сдвиг ползунка линейки, если мы одновременно можем узнать квадрат, куб, синус, тангенс, логарифм числа и так далее? Да никакого действия сдвиг не выполняет. Действие выполняет именно шкала." Цитата дословная
И вот это уже совсем не верно. Логарифмическая линейка, по сути своей, выполняет, причем геометрически, лишь одно действие - сложение расстояний. И нелинейность логарифмической шкалы, на что тоже ссылается читатель, никакой роли тут не играет.
Итак, дискуссия поднимает два вопроса, которые взаимосвязаны:
- Является логарифмическая линейка аналоговым прибором или дискретным?
- Какое место в определении принципа работы логарифмической линейки занимают шкалы?
При чем тут арифмометр? Мы достаточно подробно рассматривали его в статье
И это нам сегодня будет полезным, так как позволит выделить важное различие между аналоговой линейкой и дискретным арифмометром. Но обо всем по порядку.
Логарифмическая линейка, первый взгляд
О логарифмических линейках слышали наверное все. Но молодое поколение, в отличии от нас, стариков, вряд ли держало их в руках. Поэтому не будет лишним очень кратко показать, что это такое и как им пользуются, например, для умножения двух чисел.
Классическая (включая школьную) логарифмическая линейка состоит из трех реек с нанесенными на них шкалами. Две рейки (верхняя и нижняя) неподвижны и скреплены между собой. Средняя рейка (движок) подвижна, она может перемещаться (смещаться) относительно неподвижных реек в пазах. Бегунок тоже подвижен, но его наличие не всегда обязательно для вычислений. Он является вспомогательным элементом и позволяет с помощью нанесенной на его стекло риски соотносить показания для шкал, которые нанесены на некотором расстоянии друг от друга.
Логарифмическая линейка может быть и круговой
Здесь шкалы размещены на дисках, которые могут вращаться относительно друг друга. Это абсолютно не влияет на сам принцип работы логарифмической линейки. И шкалы могут быть не просто круговыми, но даже спиральными
И это тоже совершенно не влияет на принцип работы логарифмической линейки.
Давайте выполним с помощью логарифмической линейки умножение двух чисел. Например, умножим 1.3 на 2
Для умножения мы будем использовать две шкалы. Шкала D будет использоваться для ввода первого сомножителя. Шкала С будет использоваться для ввода второго сомножителя. Ввод первого сомножителя выполняется перемещение движка так, что бы первое деление шкалы С совместилось с делением шкалы D соответствующим первому сомножителю. Ввод второго сомножителя сводится с нахождению на шкале С соответствующего ему деления. На иллюстрации, для наглядности, для этого использован бегунок. Результат считывается с шкалы D. Ему будет соответствовать деление шкалы D расположенное напротив деления соответствующего второму сомножителю. Или, на нашей иллюстрации, соответствующее риске бегунка. Вы можете убедиться, что результат верен
1.3 * 2 = 2.6
Итак, при умножении мы действительно активно использовали шкалы, как и говорит читатель. Получается, он прав и линейка дискретная, а не аналоговая? Не спешите с выводами.
Как работает логарифмическая линейка и почему она аналоговая
Логарифмическая линейка, если смотреть в основы принципа ее работы, состоит из двух реек. На иллюстрации с примером умножения эти рейки соответствую шкалам С и D. С одним маленьким уточнением - наличие собственно шкал совершенно не обязательно. Нам достаточно буквально пары рисок (отметок). Давайте абстрагируемся от шкал и посмотрим, какое же действие на самом деле выполняет логарифмическая линейка
В точности повторим все действия, которые мы выполняли в примере умножения с помощью логарифмической линейки. Только теперь у нас нет шкал, есть лишь риски обозначающие "началу отсчета" (нулю). Разместим рейки так, что бы первое число соответствовало расстоянию между рисками начальными рисками, как показано на иллюстрации. Второе число будем "вводить" с помощью верхней рейки, где поставим еще одну риску на соответствующем расстоянии от начальной. Напротив этой риски поставим риску и на нижней рейке. Теперь остается измерить расстояние между двумя рисками на нижней рейке. Это и будет результатом. И нам совершенно не обязательная шкала прямо на рейках. Мы можем использовать циркуль-измеритель, который потом приложим с совершенно другой линейке, уже со шкалой.
А теперь задумаемся, что же собственно говоря мы сейчас сделали? С помощью двух реек без шкал, лишь с нанесенными рисками "нулей". Две другие риски мы поставили сами в процессе вычисления. Легко увидеть, что наши действия являются ни чем иными, как нахождением суммы двух чисел, которые были представлены длинами двух отрезков. Но почему сложение, когда мы только что умножали два числа и у нас все получилось? Просто такая "счетная линейка" действительно умеет лишь сложение. И логарифмическая линейка является именно такой вот счетной!
К тому, как же суммирование становится умножением мы скоро вернемся. А пока попробуем определить, является ли такое суммирование аналоговым или мы должны считать его дискретным.
Совершенно очевидно, что взаимное расположение реек может быть абсолютно любым. Нет никакой дискретности. То есть, это непрерывная функция, которая является аналоговой. У вас есть возражения, мол мы же "вводим" расстояния, которые соответствуют числам, и здесь невозможно обойтись без шкал, которые создают дискретность? Именно это утверждал читатель, с которым мы дискутируем. Рассмотрим это подробнее.
На моей иллюстрации нет шкал. Как же мы можем "ввести" в нашу счетную линейку исходные числа-слагаемые? Очень просто! Ведь эти числа сами могут просто соответствовать некоторым аналоговым физическим величинам. Для наглядности, давайте добавим третью рейку. Причем на всех трех рейках будут нанесены лишь риски "0". Нижняя рейка будет неподвижна, а средняя и верхняя будут приводиться в движение колесами. Нам нужно найти сумму длин двух отрезков, которые нарисованы "от руки" и их длина может быть любой. Соответственно, длины отрезков являются аналоговыми величинами. Колесом, которое приводит в движение сразу среднюю и верхнюю рейки, мы "прокатим" по первому отрезку. Перемещение реек при этом тоже будет аналоговым, непрерывным. По второму отрезку мы "прокатим" другим колесом, которое приводит в движение лишь верхнюю рейку. Это можно представить так
Да, внешне наша линейка изменилась, появился и механический привод. Но сам принцип ее работы нисколько не изменился! Это по прежнему геометрическое сложение длин двух отрезков. И результатом будет сумма. Вам не нравится добавление еще одной рейки? Можно обойтись и без нее. Просто вторая риска на верхней рейке, которую мы сами ставили, может быть заменена, например, на стрелку, которая перемещается при "прокатывании" колеса по второму отрезку.
Это очень важно, нам совершенно не требовалась шкала для "ввода" значений слагаемых в нашу счетную линейку! Исходные величины были аналоговыми, аналоговым остался и результат. И принцип работы такой линейки является именно аналоговым! Мы можем взять и другой пример. Например, перемещение реек будет осуществляться двумя пружинными весами. Первые взвешивают, например, пустую тару, а вторые наливаемую в нее жидкость. И мы сможем найти вес жидкости упакованной в тару заранее, до того, как нальем ее. Можно перемещать рейки и в зависимости от уровня, например, напряжения. Просто заменив стрелки гальванометра на привод реек.
Итак, принцип работы линейки действительно аналоговый и нам не требуется шкала для ввода значений (чисел). Но для считывания результата шкала уже необходима. Причем эта шкала совершенно не обязательно должна быть нанесена на рейки. Мы можем использовать циркуль-измеритель (кронциркуль), штангенциркуль, микрометр. Любой измерительный прибор, который позволяет измерять расстояние. И именно в этот момент, при считывании результата операции сложения, которую аналоговым способом выполнила наша счетная линейка, с помощью шкалы, и возникает дискретность. Результат будет дискретным, но принцип работы линейки все равно аналоговый.
Задумаемся, всегда ли результат суммирования будет дискретным, всегда ли нам нужна для этого шкала? Отнюдь не всегда! Шкала нужна нам для считывания результата и его записи, но ведь результат может использоваться и без записи. Например, как входной параметр для какого либо процесса, причем тоже аналогового. Например, так
Средняя и верхняя рейки (совместно) приводятся в движение гальванометром, который измеряет напряжение U1. Верхняя рейка дополнительно приводится в движение гальванометром, который измеряет напряжение U2. Механическая/геометрическая сумма двух перемещений является эквивалентом суммы двух напряжений и используется для привода движка потенциометра, который регулирует что то внешнее (по отношению к нашей счетной линейке). При этом нам даже не нужна нижняя рейка, так смещение правого торца верхней рейки относительно начального положения и будет являться результатом, суммой.
Принцип работы нашей счетной линейки остался прежним. Но мы можем "ввести" в нее слагаемые (аналоговые!)без использования шкал. И для результата (аналогового!) шкала не требуется. При всех кажущихся отличиях этого нашего варианта счетной линейки он полностью идентичен классической логарифмической линейке по принципу работы - суммированию двух чисел как эквивалентных расстояний!
В основе работы логарифмической линейки лежит аналоговый принцип. Точнее, пока счетной, до логарифмичности мы еще не дошли. И этот принцип работы никак не зависит от наличия шкал. Дискретность может появиться в процессе считывания и записи результата. Причем записью является, в том числе, наше зрительное восприятие значения по шкале. Если ввод исходных чисел тоже осуществляется по шкалам, то положения реек обретают дискретность. Но сам процесс сложения остается аналоговым! Не смотря на дискретность исходных данных.
Теперь немного внимательнее присмотримся к шкалам. Основа любой шкалы - деления. Деления шкалы имеют "вес", причем не обязательно одинаковый. Да и расстояние между делениями может быть разным. Углубляться в обсуждение шкал мы сегодня не будем, о них много написано в других статьях канала. В том числе, в цикле "Нескучная метрология". Но нам сегодня важно, что считывание результата с помощью шкалы заключается в подсчете количества делений, с учетом их веса. Для облегчения считывания деления шкалы могут быть промаркированы. Причем единицы измерения у маркировки могут быть любыми. Результат, считанный с помощью шкалы, это число. Количество цифр числа может быть любым. Дробная часть может и присутствовать, и отсутствовать.
Самым важным для нас, и мы позже это увидим, является то, что считанный результат именно число, а не набор отдельных разрядов числа. Не будем забывать про позиционность систем счисления.
Пришло время разобраться, как выполняя только сложение счетная линейка умудряется выполнять умножение. Все очень просто, но без математической хитрости не обошлось. Вспомним, еще из школьной программы по математике, что логарифм произведения равен сумме логарифмов:
log ( a * b ) = log ( a ) + log ( b )
Нам не важно основание логарифма. Нам важно, что мы можем заменить умножение сложением. Но нам ведь нужен не логарифм произведения, а само произведение! Значит, потребуется потом еще экспоненту вычислять? Нет! Не потребуется! Это просто "магия" математики и "волшебство" шкал.
Давайте внесем маленькое изменение, будем использовать расстояния, которые соответствую не самим числам, которые складывает линейка, а логарифмам этих чисел. Результатом работы линейки по прежнему будет сложение. Но теперь результат будет суммой логарифмов, а не чисел. А значит, логарифмом произведения! Но с точки зрения линейки абсолютно никаких изменений нет. По прежнему сложение, по прежнему аналоговое. Просто смысл расстояний стал другим. Другим для нас, а не с точки зрения выполняемой линейкой операции!
Посмотрим, как теперь вводятся числа в нашу линейку. Читатель уверен, что уж теперь то без шкалы никак не обойтись:
- "Со сложением соглашусь - жто именно аналогое вычисление, шкалы может не быть вообще, риски мы можем делать где угодно. А вот с логорифмами, извините, шкала должна быть вычислена заранее, нанесенные риски - дискреты, без которых ничего не вычислить." Цитата дословная.
Уже хорошо, читатель согласился с тем, что сложение аналоговое и шкалы не обязательны. Но и в случае логарифмов шкалы не обязательны. То есть, читатель все еще не совсем прав. И сейчас мы это наглядно увидим.
Не вычислять логарифм, а для результата экспоненту, нам действительно позволят шкалы. С небольшим уточнением... Если именно мы выполняем ввод чисел и считывание результата. Что бы не вычислять логарифм мы можем использовать нелинейную шкалу у которой расстояния между штрихами соответствуют логарифмам. И такая шкала действительно нелинейная
При ручном вводе чисел без шкалы действительно не обойтись. А если ввод чисел не ручной? Вспомним наш пример с суммированием напряжений. Мы ведь можем подавать на гальванометры, которые изменяют положения реек, напряжение не напрямую, а через логарифматор (логарифмирующий усилитель). Такой логарифматор легко сделать на ОУ с p-n переходом (диодом) в цепи обратной связи. Возможен и механический логарифматор состоящий из двух конусообразных шкивов и промежуточно ролика, который перемещается вдоль оси шкивов при своем вращении.
То есть, при некоторых ухищрениях мы опять можем ввести числа, уже в виде расстояний соответствующих логарифмам, без использования шкал. И это опять может быть аналоговым. Сам процесс сложения логарифмов расстояний остается неизменным. При считывании и записи результата, что бы избежать вычисления экспоненты, на опять нужна шкала. Если не считать того, что теперь она нелинейная, абсолютно никаких отличий от счетной линейки нет. И при считывании (с записью) действительно возникает дискретность определяемая шкалой.
Но всегда ли нужно считывание? Ведь мы по прежнему можем использовать результат для каких либо целей без необходимости считывания. Снова вспомним наш пример с суммированием напряжений, когда результат в виде перемещения использовался для управления потенциометром. Если потенциометр регулирует напряжение, то мы можем это напряжение подать на экспоненциатор (усилитель с экспоненциальной ВАХ). Например, снова на ОУ, где диод включен последовательно с входом. Можно придумать и механический аналог.
И у нас снова процессы будут чисто аналоговыми. Никакая дискретность не возникает. Наша, теперь уже логарифмическая, линейка выполняет сложение, которое мы интерпретируем как умножение, аналоговым способом. Абсолютно ничего не меняется, если исходные числа (сомножители) вводятся с помощью шкал, а значит, будут дискретными. Сам принцип работы линейки остается неизменным - аналоговым, и представление чисел остается налоговым. Как и единственная выполняемая ей операция останется неизменной - сложение расстояний. Все остальное лишь наша интерпретация.
И результатом умножения, как и раньше результатом сложения, будет число, как единое целое. А не как набор отдельных разрядов.
Итак, мы разобрались, что по принципу, лежащему в основе работы логарифмической линейки, она является аналоговой. Но дьявол, как и всегда, прячется в деталях. При классическом применении логарифмической линейки мы действительно используем шкалы. А значит, исходные данные для того же умножения будут дискретными. Расстояния дискретны из-за использования шкал. Дискретным будет и считанный с тех же шкал результат. При этом вычисление произведения, через сумму логарифмов, останется аналоговым. А значит, при классическом применении логарифмическая линейка может считаться гибридной. То есть аналогово-дискретной. Или дискретно-аналоговой. Как вам больше нравится.
По своему применению, а не по принципу действия!
Дискретность штука не постоянная
В ходе дискуссии я приводил еще один аргумент - возможность разбиения расстояния между делениями шкалы на дополнительные деления. Сам принцип такого повышения точности шкал я описывал в статье
Действительно, как я ранее и писал, мы при этом упираемся в различимость двух соседних делений. Нелинейность шкалы никакого принципиального значения не имеет. Критерием является лишь различимость самых мелких штрихов. Повысить различимость мы можем используя оптические приспособления (вплоть до микроскопа, включая электронный), увеличивая размеры шкалы (включая оптические световые шкалы), используя нониусные или микрометрические шкалы, и т.д.
Вот пример использования увеличительного стекла, правда более мелкие деления отсутствуют, но принцип понятен
А вот пример линейки с более мелкими делениями и "микрометрическим" винтом, который позволяет более точно устанавливать взаимное расположение реек
Так что снизить дискретность логарифмической линейки можно, хоть далеко не всегда просто и не всегда имеет смысл. Но задумаемся над тем, почему это в принципе возможно?
Для этого вспомним, результат у нас число. В целом, без деления на разряды. И это число аналоговое, функция непрерывна. Равно как и исходные числа, которые мы вводим для выполнения умножения. И это очень важно!
Аналоговое значение, число, в нашем случае, мы можем уточнять до бесконечности. Теоретически, конечно, так как в реальности упремся в погрешность. Шкала создает дискретность. Но на само исходное число она никак не влияет, влияет лишь на наше восприятие числа.
Предположим, у нас шкала имеет целые деления 0, 1, 2, 3 и т.д. Что будет, если мы наложим такую шкалу на число, например, 10.324346373? Дискретное значение, как результат наложения шкалы, будет равно 10. И наше представление числа, дискретное, будет содержать погрешность. Дискретность нашего представления чисел будет определяться весом деления шкалы. Но, в общем случае, наличие шкалы не обязательно. Дискретность это не только шкала. У и нас, в данном случае, просто невозможно записать числа вроде 10.3. Дискретность этого не позволяет. Запомним это.
Мы хотим снизить погрешность представления числа. Поскольку мы говорим о шкалах, разделим деления на более мелкие. Например, добавим по одному делению между каждыми соседними делениями исходной шкалы. Теперь у нас стали возможны результаты, именно дискретные, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, и т.д. Наше число теперь стало возможным записать как 10.5.
Вы считаете неверным, что я записал 10.5, а не 10.0? Запись верна. Просто 10.3 ближе к 10.5, чем к 10.0. Ближайшее деление нашей шкалы оказывается именно 10.5.
Мы можем продолжать увеличивать количество делений шкалы. Если мы разместим между двумя делениями исходной шкалы десят более мелких делений, то мы сможем записать и 10.3. Если втиснем 100 делений, то сможем записать 10.32. И так далее. Это возможно, так как мы приняли, что результат, на который мы накладываем шкалу, аналоговый, а не дискретный. Дискретность появляется как результат наложения шкалы.
И при таком снижении дискретности шкалы совершенно не имеет значения, линейна она, или нет. По сути, мы просто размещаем дополнительную шкалу между существующими делениями исходной шкалы.
А теперь предположим, что у нас результат, на который мы накладываем шкалу, уже дискретный, а не аналоговый. Пусть это будут целые числа (для простоты). Если дискретность шкалы (деления) равна 1 (целые числа), то ничего интересного не происходит. Но что будет, если мы уменьшим дискретность шкалы? Например, точно так же разделим расстояние между соседними делениями на 10 частей. Очень быстро мы сможем убедиться, что это просто не имеет смысла. Да, мы можем записать, например, 10.0 вместо 10, но десятые доли всегда будут равны 0, так их просто нет в исходных результатах.
То есть, уменьшение дискретности шкалы, включая шкалы логарифмической линейки, имеет смысл только в том случае, если значения, на которые накладывается шкала, имеют величину дискрета меньше, чем создаваемая шкалой дискретность. Если значения аналоговые, то и уменьшать дискретность шкалы мы можем, теоретически, до бесконечности. А логарифмическая линейка аналоговая. И уменьшение дискретности шкал будет оказывать влияние и на дискретность вводимых исходных чисел, и на результат. Одинаковое влияние, так как шкалы используются и для ввода и для считывания. И аналоговый характер принципа работы линейки позволяет уменьшать дискретность.
Важно отметить, что можно и целесообразно совсем не одно и тоже.
Чем же отличается арифмометр?
В логарифмической линейке представление чисел и принцип работы аналоговые. Мы это уже достаточно подробно рассмотрели. В статье
я сказал, что арифмометр стоит считать гибридным. При этом процесс передачи вращения от основного колеса колесу счетчика через установочное колесо можно считать и аналоговым, и дискретным. При этом можно заметить промежуточные состояния, все таки результат является дискретным. Вспомним, как выглядит один разряд арифмометра
При медленном вращении рукояти можно заметить, как колесо счетчика плавно поворачивается проходя все промежуточные состояния. Его движение не скачкообразное. Но вот занимать колесо счетчика может лишь определенные, дискретные положения. И угол поворота колеса счетчика, при передаче вращения от основного колеса, тоже величина дискретная. И определяется количеством выдвинутых штифтов на установочном колесе. А это определяется положением рычажков, которые устанавливает оператор.
Таким образом, представление чисел в арифмометре дискретно. В отличии от логарифмической линейки. При том, что процессы можно рассматривать как аналогово-дискретные. Гибридные.
Но это еще не все. Дело в том, что каждое колесо счетчика соответствует одному десятичному разряду числа. И исходных чисел, и результата. Да, можно сделать арифмометр работающий и в других системах счисления, но все они будут позиционными. И в этом заключается радикальное отличие от логарифмической линейки. Мы можем изменять количество разрядов чисел, которые обрабатываем на арифмометре. Но мы в принципе не можем разбить существующие дискретные положения колес считчиком на несколько промежуточных.
Положения каждого колеса счетчика всегда будут дискретными. Более того, для десятичной системы счисления таких положений будет ровно 10. Каждое положение будет соответствовать одной десятичной цифре, целому числу от 0 до 9. Невозможно, принципиально невозможно, втиснуть на колесе счетчике, например, по одному дополнительному положению между каждым дискретным положением.
Например, если у нас есть число 12345, то разряд сотен не может быть равен 3.5. Просто та дополнительная "половинка", по всем правилам позиционных систем счисления, окажется относящейся к разряду десятков. И мы должны записать там не цифру 4, а цифру 9, что учтен те самые лишние 0.5 в разряде сотен.
Каждый разряд числа в позиционной системе счисления, в которой и работает арифмометр, является дискретным значение. Причем количество возможных дискретных значений разряда равно основанию системы счисления.
Мы можем уменьшать дискретность логарифмической линейки увеличивая количество делений шкалы, так как там числа представлены аналоговыми величинами. Но мы не можем изменять количество положений колес счетчика, так как оно принципиально дискретно.
Но мы можем увеличивать количество колес счетчиков, разрядность представимых чисел. Кстати, это не слишком очевидно, но арифмометр работает только с целыми числами. Положение запятой для него совершенно неважно. Но для человека-оператора положение запятой можно отметить ползунком над рычажками установочных колес. Можно сказать, что арифмометр работает с числами с фиксированной запятой. Разрядность счетчика у арифмометра "Феликс" равна 13. Количество установочных колес 9.
Заключение
Поднятый очередной дискуссией вопрос, как видим, оказался совсем не так прост и однозначен. Я постарался это наглядно, без излишнего усложнения или упрощения, показать. Давайте сделаем выводы:
- Представление чисел и принцип работы логарифмической линейки являются аналоговыми. Это не зависит от дискретности исходных чисел и способом использования результата. То есть, логарифмическая линейка является аналоговой по принципу действия.
- Логарифмическая линейка может рассматриваться как аналогово-дискретная по способу применения в типовом случае. Типовой случай это выполнение расчетов человеком. Способ применения и принцип работы это не одно и тоже!
- Исходные данные и результат в логарифмической линейке представлены именно как числа, а не как отдельные разряды числа.
- Арифмометр по принципу действия является аналогово-дискретным, но может рассматриваться как дискретный.
- Представление чисел в арифмометре дискретное. Более того, числа представлены в виде отдельных разрядов числа в позиционной системе счисления.
- По способу применения арифмометр может рассматриваться как дискретный или даже цифровой.