Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем разговор об аксиомах отделимости топологических пространств. В прошлом материале мы обсудили первые три аксиомы: T₀ (колмогоровская отделимость), T₁ (отделимость Фреше), T₂ (хаусдорфова отделимость).
Все аксиомы, о которых шла речь в этой статье подразумевали отделимость отдельных точек пространства от открытых множеств, содержащих другие точки. Следующие аксиомы идут в сторону усложнения: в них будут фигурировать уже замкнутые множества. Итак, поехали!
В качестве ремарки: аксиомы отделимости выше второй, в целом, не имеют единой классификации. Многие авторы придают им разный смысл. Мы здесь рассмотрим наиболее устоявшийся подход. Подробнее об истории аксиом отделимости в англоязычной википедии.
Аксиома Т₃
Топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Т₃, если для всякого замкнутого множества и точки, которая ему не принадлежит, найдутся их непересекающиеся окрестности.
Проанализируем на предмет выполнения аксиомы Т₃ пространство с дискретной топологией:
Пример тривиален, т.к. каждое множество является окрестностью для самого себя, поэтому отделить их в смысле третьей аксиомы легко.
- Само название дискретной топологии намекает о сильных свойствах "отделимости". Напомню, что для этого пространства выполнялись и аксиомы T₀ - T₂.
Пространство Т₃, но не T₂ и не T₁, и не T₀
Значит ли это, что из аксиомы Т₃ следуют все предыдущие? Отнюдь! Вот вам простой пример пространства, которое удовлетворяет третьей аксиоме, но не удовлетворяет второй:
Действительно, если мы не можем найти непересекающиеся открытые множества для каждых двух точек множества, например {a} и {b}.
У них просто нет непересекающихся окрестностей! Получается, что не выполняется все предыдущие аксиомы! Впрочем, это пример не содержательный, а скорее призван показать, что импликации в аксиомах отделимости далеко не тривиальны.
Пространство T₂, но не Т₃
Теперь другой, более интересный пример, когда уже хаусдорфово пространство не удовлетворяет аксиоме Т₃ уже на отрезке числовой прямой.
Зададим такую хитрую топологию на отрезке [0,1]. Для всех точек, кроме нуля объявим открытыми все стандартный интервалы вещественной прямой:
А вот для точки 0 окрестности определим как любые интервалы, с выброшенными членами последовательности:
Конечно, это топология, и это можно проверить непосредственно, пересекая и объединяя всевозможные открытые множества:
Каждая точка результирующих множеств в этих вариантах - внутренняя, а значит и множества - открытые. Для пересечения интересен лишь случай с окрестностями точки 0:
Но как бы мы не пересекали, в итоге мы получим интервал с наименьшим альфа, устроенный примерно так:
Итак, теперь, раз уж мы действительно в рамках топологического пространства, проанализируем выполнение аксиом отделимости:
Две точки на прямой мы легко отделим окрестностями, так же, как и точку 0 от остальных точек отрезка. Следовательно, топологическое пространство хаусдорфово. А что с аксиомой Т₃ ?
Для контрпримера возьмем точку 0 и множество N = ꓴ{1/n}.
Для понимания можно просто прикинуть, что будет на конечном примере:
Не получится найти непересекающихся окрестностей у точки 0 и у окрестностей замкнутого множества ꓴ{1/n} , где n=1,2,3,4. Вот такой интересный пример.
Регулярные пространства
Конечно, все эти изыски интересны по большей части со схоластической точки зрения, ведь математикам тоже хочется "жить" в пространствах не с такой мудреной структурой.
С этой точки зрения хотелось бы иметь пространство, которое удовлетворяет логичному набору аксиом T₁ - T₂ - Т₃. Такие пространства договорились называть регулярными, при чем оказалось, что для регулярности достаточно выполнения аксиом T₁ и Т₃, из чего уже всегда следует хаусдорфовость.
Следующий этап усложнения требований аксиом отделимости на примере
Т₃,₅ (вполне регулярных) и T₄ (нормальных) пространств мы рассмотрим в дальнейшем! Спасибо за внимание!