Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить об открытом недавно удивительном доказательстве теоремы Пифагора. Да-да, Вы не ослышались!
Даже в этом, казалось бы, вдоль и поперек перепаханном поле осталась не обработанная полоска. Дело вот в чём: считалось, что любое доказательство теоремы Пифагора через тригонометрические функции так или иначе сводится к применению основного тригонометрического тождества:
, которое само по себе является одним из вариантов записи теоремы. Таким образом, используя это выражение, мы "будем выходить сами на себя", т.е. доказывать то, что принимаем за истину в самом начале.
Никогда не говори никогда
Однако недавно было найдено доказательство теоремы Пифагора, основанное на другом фундаментальном утверждении - теореме синусов для треугольника.
Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник (именно в нём биссектриса является высотой, а это нам важно):
Запишем для этого треугольника теорему синусов:
Теперь нам понадобится несколько геометрических построений и записанное отношение сторон подобных прямоугольников:
Теперь продолжаем применять свойства подобия для каждых последующих прямоугольных треугольников:
То есть для каждой пары:
- Записываем отношение подобия
- Выражаем общий катет через синус угла
- Подставляем и получаем новую длину сегмента
Как Вы можете заметить, получается кое-что замечательное. На лицо целых две геометрические прогрессии:
А теперь внимательно посмотрим, что две найденные нами стороны - это гипотенуза и катет прямоугольного треугольника с углом в 2*альфа:
В конце мы вернулись к формулу, выведенной нами с самого начала и "открыли" теорему Пифагора! Спасибо за внимание!
Ну и доказательство теоремы Пифагора через интегралы и бесконечно малые: