Используя данную формулу, можно закодировать любую константную или сбалансированную функцию в квантовом компьютере. Для этого необходимо только добавить последний кубит и применить к нему оператор Адамара, который создает состояние суперпозиции между нулем и единицей.
Формула:
Если $\sum_{i=1}^{n-1}x_i = 0$ модуль 2, результат равен 0, иначе результат равен 1.
где $n$ - количество кубитов в квантовом цепочке, $x_i$ - значение $i$-го кубита (0 или 1).
Полный расклад этой формулы можно представить в виде таблицы истинности:
| $x_1$ | $x_2$ | ... | $x_{n-1}$ | Результат |
|-------|-------|-----|-----------|-----------|
| 0 | 0 | ... | 0 | 0 |
| 0 | 0 | ... | 1 | 1 |
| 0 | 1 | ... | 0 | 1 |
| 0 | 1 | ... | 1 | 0 |
| 1 | 0 | ... | 0 | 1 |
| 1 | 0 | ... | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ... | 0 | 0 |
| 1 | 1 | ... | 1 | 1 |
Для кодирования функции в квантовом компьютере необходимо создать $n$ кубитов и провести их инициализацию в состояние $|0\rangle$. Затем нужно применить на первые $n-1$ кубит операцию Адамара, которая создает суперпозицию между состояниями $|0\rangle$ и $|1\rangle$ на каждом кубите. Затем нужно применить управляющую операцию на всех кубитах, кроме последнего, в которой на первые $n-1$ кубитов будет взята сумма, а результат сравнен с 0. Если результат равен 0 модуль 2, то состояние кубита на последней позиции останется нетронутым, иначе на последний кубит будет применен оператор $X$, который меняет состояние 0 на 1 и наоборот. Операцию Адамара нужно применить к последнему кубиту, чтобы закодировать результат в состоянии суперпозиции. В итоге получится квантовая схема, которая проведет нужные операции и вернет результат в виде суперпозиции состояний 0 и 1.
Пример кодирования функции $f(x) = x_1 \oplus x_2$, где $\oplus$ - операция XOR. Для этой функции требуется два кубита.
1. Создать два кубита в состоянии $|0\rangle$: $|0\rangle\otimes|0\rangle$.
2. Применить операцию Адамара на обоих кубитах: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$.
3. Применить управляющую операцию, используя два кубита (первый и второй) и добавив последним кубит (третий):
$$
\frac{1}{2}(|0\rangle(|0\rangle+|1\rangle)|0\rangle+|0\rangle(|0\rangle-|1\rangle)|1\rangle+|1\rangle(|1\rangle+|0\rangle)|1\rangle+|1\rangle(|1\rangle-|0\rangle)|0\rangle)
$$
4. Применить оператор $Z$ на последнем кубите, чтобы скомпенсировать операцию, выполняемую условием функции. Если $x_1 \oplus x_2 = 0$, то состояние последнего кубита не изменится, иначе состояние последнего кубита станет $|1\rangle$:
$$
\frac{1}{2}(|0\rangle(|0\rangle+|1\rangle)|0\rangle+|0\rangle(|0\rangle-|1\rangle)|1\rangle+|1\rangle(|1\rangle+|0\rangle)|1\rangle-|1\rangle(|1\rangle-|0\rangle)|0\rangle)
$$
5. Применить операцию Адамара на последнем кубите:
$$
\frac{1}{2}(|0\rangle(|0\rangle+|1\rangle)|0\rangle+|0\rangle(|0\rangle-|1\rangle)|1\rangle+|1\rangle(|1\rangle+|0\rangle)|1\rangle-|1\rangle(|1\rangle-|0\rangle)|0\rangle) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)
$$
6. Измерить состояния кубитов. Результатом является суперпозиция состояний 0 и 1 со следующими вероятностями:
- $|00\rangle$: $\frac{1}{2}$
- $|01\rangle$: $\frac{1}{2}$
- $|10\rangle$: 0
- $|11\rangle$: 0
Таким образом, квантовый компьютер успешно закодировал функцию $f(x) = x_1 \oplus x_2$ в состоянии суперпозиции двух кубитов.
Создатель формулы Исаенко Вадим Валерьевич.