По статистике за 2022 год к решению 16 задания (задача по планиметрии) ЕГЭ по профильной математике приступило всего 8% сдававших. Ниже показатели только у задания с параметром - к нему приступило всего 5% учащихся.
Почему же планиметрия вызывает такие трудности и как научиться решать 16 задания?
Давайте разберём на примере. При решении планиметрии я всегда предлагаю начинать размышления и само решение задачи с конца. Многим эта фраза покажется непонятной, но что же это все-таки значит?
Вот 16 задание из демоверсии ЕГЭ 2023 года:
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Сначала разберёмся с пунктом а.
Давайте посмотрим на вопрос: докажите, что прямые AD и BC параллельны.
Первое, о чем мы должны задуматься, как вообще можно доказывать параллельность, что за это отвечает? На самом деле теорем об этом не так-то и много, а единственное, что приходит на ум: признаки параллельности прямых через накрест-лежащие, односторонние или соответственные углы. То есть сразу для себя определяем, что в этой задаче на самом деле мы ищем углы и хотим показать, что они окажутся равными.
Определились с вопросом, теперь посмотрим на рисунок, что же за углы мы можем найти?
В принципе нам подойдёт любая секущая и пара углов для неё, но теперь начинаем задумываться, а какую информацию мы вообще можем получить из условия нашей задачи? Никакие отрезки нам не даны, никакие углы тоже, известны нам только какие-то точки. Про АС и ВD мы ничего сказать не можем, а вот АВ - общая касательная, это что-то знакомое, значит на ней и остановимся.
Вообще, уже здесь можно вспомнить теорему, которая говорит, что при внешнем касании окружностей наш угол АКВ будет прямым. Но мы бы хотели не просто использовать этот факт, а доказать его.
Свойство касательных, проведенных из одной точки (рассматриваем точку М) говорит нам о равенстве отрезков касательных. В нашем случае равными окажутся отрезки АМ=МК, МВ=МК, но тогда и АМ=МВ.
Получились 3 равных отрезка из одной точки, при этом КМ - медиана треугольника АКВ и она равна половине АВ. Для прямоугольного треугольника есть свойство: медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. У нас как раз этот случай, а значит наш треугольник - прямоугольный, и угол АКВ=90 градусов. Но тогда прямыми являются также углы DKA и СКВ, а значит DA и СВ - диаметры окружностей.
Если DA - диаметр, то О1А - радиус, проведенный в точку касания, и перпендикулярен касательной, как и радиус О2В.
То есть мы получили пару равных углов, а значит, прямые параллельны.
Пункт а задачи доказан. Решение пункта б рассмотрим в следующей статье.
Примерный план размышлений при решении планиметрии выглядит так:
- Читаем задачу и обращаем внимание на сам вопрос, а не на то, что дано в условии.
- Пытаемся переформулировать вопрос задачи, используя связи между искомыми величинами.
- Строим цепочку размышлений, как можно прийти от вопроса задачи к предложенным данным.
- Делаем промежуточные выводы/вычисления и приходим к ответу.