Существует большое количество задач на поиск одних геометрических фигур внутри других. Здесь предлагаю вариант, который сначала кажется довольно простым, но на деле оказывается совсем не таким.
У нас есть правильный шестиугольник, из каждой вершины которого проведено по три диагонали к другим вершинам (всего девять диагоналей):
Сколько разных треугольников можно насчитать в этом шестиугольнике?
Ответ, как обычно, вы найдёте ниже.
↓
↓
↓
Итак, кажется, что треугольник посчитать легко. Но уже на первом десятке счёт сбивается, начинается путаница и интерес к задаче пропадает. Поэтому лучше систематизировать подсчёт.
Для начала проведём только по три диагонали, образующие большие треугольники. Легко видеть, что в этом случае мы насчитаем 8 треугольников - по одному в центре и по три вокруг него:
Теперь рассмотрим одну из сторон шестиугольника и выясним, сколько треугольников можно расположить на ней. Если взять вершины, отмеченные зелёными точками, то выяснится, что на одной стороне можно построить 8 треугольников:
А так как сторон у нас 6, то общее количество треугольников составляет 8х6 = 48.
Теперь рассмотрим такой же вариант с любой вершиной, но будем сразу отсекать треугольники, одной из сторон которых являются стороны шестиугольника. Так мы выясним, что из одной вершины можно построить по 7 треугольников:
А так как вершин у нас 6, то общее количество треугольников составляем 7х6 = 42.
Наконец, рассмотрим треугольники, которые можно построить на центральных диагоналях шестиугольника и на диагоналях, соединяющих вершины через одну:
Очевидно, что каждого вида треугольников у нас по 6, итого 12.
Итак, сколько всего треугольников у нас получилось? Просто посчитаем: 8 + 48 + 42 + 6 + 6 = 110. Целых 110 треугольников в одном шестиугольнике!
А если взять многоугольник с бОльшим количеством вершин, то число треугольников увеличится многократно. Но такую задачу мы решим как-нибудь потом.