В прошлой статье мы подробно разобрали решение пункта а планиметрической задачи демоверсии ЕГЭ 2023.
Давайте вспомним саму задачу:
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Важным, на мой взгляд, является тот факт, что в 90% случаях решение пункта б требует использования утверждения из пункта а. При этом его можно использовать, даже если самостоятельно написать доказательство пункта а не получилось (конечно, баллов за это дадут меньше). Давайте снова попробуем начать рассуждать с конца и прийти к решению)
Нам нужно найти площадь треугольника АКВ. Для этого первым делом вспомним формулы для площади, которые мы знаем.
Площадь треугольника через основание и высоту:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны:
Формула Герона:
Здесь приведены только самые основные формулы, есть еще много вариаций для разных видов треугольников.
Теперь начинаем сопоставлять формулы с нашей задачей, чтобы выбрать ту, которую будем использовать. Сразу видим, что описанной около треугольника АКВ окружности нет, полупериметр не дан и искать его будет проблематично, никакие углы тоже не даны, значит остановимся на первой формуле, для которой нужно найти основание и высоту. Для одного треугольника можно взять любую из трех пар оснований и высот. По картинке видно, что проще всего в нашем случае найти основание АВ и проведенную к нему высоту h.
Начнем с поиска АВ. Проведем О2Н. Так как мы выяснили, что прямые DA и СВ параллельны, то прямая О2Н, перпендикулярная к DA, будет параллельна АВ, при этом НАВО2- прямоугольник( НО2=АВ, НА=О2В=1 по условию). Значит, если мы найдем O2H, то найдем и АВ.
Рассмотрим треугольник О1О2Н- он прямоугольный по построению. О1Н=АО1-АН=4-1=3
О1О2=О1К+КО2=4+1=5 (как сумма радиусов)
Далее по теореме Пифагора можем найти О2Н =(25-9)^1/2=4. То есть АВ=4.
Теперь для использования формулы площади нам не хватает только высоты h. Для её нахождения вспомним теорему Фалеса. О1А||О2В||h. Отсюда следует равенство отношения отрезков, отсекаемых параллельными прямыми.
Пусть высота пересекает основание в точке Е.
О1К/КО2=АЕ/ЕВ=4/1. Так как мы знаем длину АВ, то можем вычислить АЕ=АВ*4/5=16/5, ЕВ=АВ/5=4/5. Теперь нам известны отрезки, на которые высота, проведенная к гипотенузе (а мы помним, что наш треугольник - прямоугольный), делит её.
Используя формулу для высоты прямоугольного треугольника находим КЕ=(АЕ*ЕВ)^1/2=8/5.
Отлично! Теперь у нас есть всё необходимое. Подставим и найдём S.
S=1/2*КЕ*АВ=16/5=3,2.
Ответ: 3,2
Также стоит помнить, что единицы измерения в данной задаче не указываются.
Надеюсь, Вам был понятен ход моих мыслей и идеи в решении 16 заданий ЕГЭ.
Обязательно пробуйте решать, ведь даже за один пункт можно получить заветные баллы)