Преобразование кривой с интервалом от t_{min} до t_{max} в кривую с интервалом от 0 до 1.

Теория.

Гипотеза.

Существуют две такие параметрические кривые, у одной из которых интервал от t_{min} до t_{max}, а у другой – интервал от 0 до 1, и которые могут быть пропорциональны.

Рисунок №1 "Параметрическая функция математического объекта (будь это кривая ∨ поверхность) в трёхмерном пространстве".

Рисунок №2 "Многочлен для абсциссы объекта".

Рисунок №3 "Многочлен для ординаты объекта".

Рисунок №4 "Многочлен для аппликаты объекта".

Рисунок №5 "Матрица коэффициентов (каждый из которых принадлежит множеству вещественных чисел) для многочленов объекта".

Рисунок №6 "Параметр объекта и пределы интервала".

Рисунок №7 "Индексы (каждый из которых принадлежит множеству натуральных чисел): для объекта (i_{0}) и для одночлена (i_{1})".

Рисунок №8 "Пределы интервала параметра для 1-го объекта и пропорциональность двух функций".

Доказательство.

Допустим, что мы имеем некоторую параметрическую функцию с интервалом от минимального предела значения параметра до максимального.

Рисунок №9.

Вычтем минимальный предел у параметра и у максимального предела в интервале функции. Тогда, чтобы значение параметра, влияющее на функцию, осталось неизменённым, обратно к нему прибавим вычтенное.

Рисунок №10.

Поделим полученные минимум и параметр на полученный максимум. А к параметру внутри функции домножим этот же максимум.

Рисунок №11.

Заменяем параметр одной функции параметром другой.

Рисунок №12.

Практика.

На практике попробуем преобразовать функцию со случайным интервалом в функцию с интервалом от 0 до 1 в виде матрицы коэффициентов.

Вводные данные.

Рисунок №13.

Процесс.

Выводные данные.

GeoGebra.

Вводные данные.

a_{0} := {{8, 1, 7, 0}, {0, 1, 0, 0}, {-11, 0, 0, 1}}

a_{1,0} := -7

a_{1,1} := 5

a_{2,x}(t) := Expand(Element(a_{0}, 1, 0 + 1) * (t)^(0) + Element(a_{0}, 1, 1 + 1) * (t)^(1) + Element(a_{0}, 1, 2 + 1) * (t)^(2) + Element(a_{0}, 1, 3 + 1) * (t)^(3))

a_{2,y}(t) := Expand(Element(a_{0}, 2, 0 + 1) * (t)^(0) + Element(a_{0}, 2, 1 + 1) * (t)^(1) + Element(a_{0}, 2, 2 + 1) * (t)^(2) + Element(a_{0}, 2, 3 + 1) * (t)^(3))

a_{2,z}(t) := Expand(Element(a_{0}, 3, 0 + 1) * (t)^(0) + Element(a_{0}, 3, 1 + 1) * (t)^(1) + Element(a_{0}, 3, 2 + 1) * (t)^(2) + Element(a_{0}, 3, 3 + 1) * (t)^(3))

a_{2} := Curve(a_{2,x}(t), a_{2,y}(t), a_{2,z}(t), t, a_{1,0}, a_{1,1})

a_{3,x}(t) := Expand(a_{2,x}(a_{1,0} + (a_{1,1} - a_{1,0}) * t))

a_{3,y}(t) := Expand(a_{2,y}(a_{1,0} + (a_{1,1} - a_{1,0}) * t))

a_{3,z}(t) := Expand(a_{2,z}(a_{1,0} + (a_{1,1} - a_{1,0}) * t))

a_{3} := Curve(a_{3,x}(t), a_{3,y}(t), a_{3,z}(t), t, 0, 1)

Выводные данные.

С каждой из функций предварительно вычтем вектор положения объекта, а потом полученную разность поделим на вектор масштаба объекта, чтобы обе кривые были видны нам. Заранее извиняюсь за свой недоконтент касаемо незнакомых терминов, о которых я не рассказал до этого момента.

a_{06} := Curve((a_{03}(t) - 344) / 12, (a_{04}(t) - (-7)) / 12, (a_{05}(t) - (-354)) / 36, t, a_{01}, a_{02})

a_{10} := Curve((a_{07}(t) - 344) / 12, (a_{08}(t) - (-7)) / 12, (a_{09}(t) - (-354)) / 36, t, 0, 1)