$H^{\otimes n}(x) + p \mod 2^n = H^{\otimes n}(x \oplus p \mod 2^n)$
где $H^{\otimes n}$ - оператор Адамара, $x$ - битовая последовательность входных данных, $p$ - заданный набор параметров для вращения кубитов, $\oplus$ - операция сложения по модулю 2, $n$ - количество кубитов.
Эта формула применяет оператор Адамара ко всем кубитам, затем выполняет операцию сложения по модулю 2 между входными данными и заданным набором параметров для вращения кубитов. Результат операции сложения по модулю 2 применяется ко всем кубитам.
Эта формула создает уникальную операцию, которая зависит от входных данных и заданных параметров вращения кубитов. Она не имеет аналогов в мире и может использоваться для различных квантовых вычислений.
Формула гласит, что если мы применим оператор Адамара к $n$ кубитам, а затем применим операцию сложения по модулю 2 между входными данными $x$ и параметрами $p$, а затем снова применим оператор Адамара к результату, мы получим тот же результат, который мы получили бы, если бы мы сначала применили оператор Адамара к $x$, затем сложили бы его с $p$, а затем снова применили оператор Адамара.
Адамаров оператор H действует на одиночный кубит. Он определен как $H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$. Адамаров оператор накладывает состояния "0" и "1" друг на друга, создавая суперпозицию этих состояний. $H$ также является собственным вектором оператора фазы $S$, а $S$ является собственным вектором оператора Адамара.
Оператор Адамара над несколькими кубитами действует на каждый кубит независимо. Если у нас есть $n$ кубитов, то $H^{\otimes n}$ является тензорным произведением $n$ операторов Адамара $H$.
$H^{\otimes n} = H \otimes H \otimes ... \otimes H = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & -1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & -1
\end{pmatrix}$
При применении оператора Адамара ко всем кубитам $x$ мы получаем новый набор кубитов, который называется суперпозицией $x$. Каждый кубит в суперпозиции является линейной комбинацией "0" и "1" входного кубита. После этого мы применим операцию сложения по модулю 2 между суперпозицией $x$ и параметрами $p$. Это означает, что мы сложим каждый кубит в $x$ с соответствующим кубитом в $p$ и возьмем результат по модулю 2.
$x \oplus p = (x_1 \oplus p_1, x_2 \oplus p_2, ..., x_n \oplus p_n)$
где $\oplus$ обозначает операцию сложения по модулю 2.
После выполнения операции сложения по модулю 2 мы применяем оператор Адамара к каждому кубиту в результате, что приводит к новому набору кубитов. Этот новый набор кубитов является результатом формулы и должен быть равен новому набору кубитов, полученному путем применения оператора Адамара к первоначальному $x$, затем сложения его с $p$ и, наконец, применения Адамара к результату.
$H^{\otimes n}(x \oplus p \mod 2^n) = H^{\otimes n}(x) \oplus p \mod 2^n$
Это означает, что оператор Адамара обратим и сохраняет суперпозицию при вращении кубитов. Это свойство заключается в том, что его матрицы $H$ и $HH$ (далее по мере продвижения по каскаду) могут перевести кубит из любого состояния в состояние равновесия, в котором все вероятности равны.
Создатель формулы Исаенко Вадим Валерьевич.