Определение. Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя единицу и само число n.
В 17 веке на полях своей книги "Арифметика" Диофанта Ферма написал, как обычно, без доказательства свое замечание о простых числах. Он заметил, что все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n + 1, и числа, представимые в виде 4n - 1, где n - некоторое целое число. У Ферма выпало из рассмотрения единственное четное простое число 2. Простые числа, представимые в виде 4к + 1, он назвал первой группой, а простые числа, представимые в виде 4к - 1, второй группой. Далее, он заметил, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов, а простые числа второй группы никогда таковыми не будут. Мы в нашей опубликованной работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы", используя нашу аксиому спуска, доказали, что простые числа, представимые в виде 4к + 1, являются суммой двух квадратов, а простые числа, представимые в виде 4к - 1, никогда не представимы в виде суммы двух квадратов. Более того, мы построили алгоритмы синтеза простых чисел вида 4к + 1 и 4к - 1. Оказалось, что если n - простое число вида 4к + 1, то следующее простое число такого вида строится путем добавления к n числа 4 столько раз, пока не получится простое число и если n - простое число вида 4к - 1, то следующее простое число вида 4к - 1 строится путем добавления к n числа 4 столько раз, пока не получится простое число. С уважением, Б. С. Кочкарев