Я думаю вы слышали о знаменитом "парадоксе Монти-Хола": в телепередаче есть студия с тремя дверьми, только за одной дверью есть приз. Вероятность открытие правильной двери у участника равно 1/3. После того, как участник выбрал дверь, ведущий открывает другую дверь, за которой нет приза и предлагает изменить свой выбор. Если игрок выберет другую дверь - вероятность получения приза увеличится до 2/3, если останется за первоначальным выбором - вероятность выигрыша будет 1/3. Спрашивается, а почему 2/3, а не 1/2? Ведь осталось то две двери и вероятность обнаружения приза будет 50 на 50: он либо за одной дверью, либо за другой. Какие тут 2/3? Как по мне, данный парадокс (который является парадоксом только со стороны простого обывателя) не так интересен и глубок, как другой парадокс теории вероятностей, обладающий очень глубоким смыслом со стороны физики - это парадокс вероятности непрерывной случайной величины: событие возможно, но имеет нулевую вероятность. Это парадокс на много занимателен, но, увы, не всем известен.
На картинке ниже представлена абзац из книги Дмитрия Письменного "Конспект лекций по теории вероятностей", где обнаруживается удивительно интересный факт:
Данный парадокс имеет очень глубокое физическое объяснение. Здесь я только не соглашусь с Дмитрием Письменным в том, что "событие возможно, но обладает нулевой вероятностью". Как показывает современная физика - таких объектов не может существовать в принципе, что и подтверждает теория вероятностей. Вы не найдёте ни одного человека на земле, у которого рост будет метр 1,72, ни одного человека с весом 70 кг или ещё каким-либо весом. Зато может быть так: к примеру, какая вероятность того, что на улице Маяковского в любое время вы можете наткнуться на человека с ростом в диапазоне от метра 1,70 до метра 1,72, вот тогда вероятность становиться не нулевой и будет в районе 0,76.
Именно этот парадокс обладает глубоким физическим смыслом и я постараюсь вам объяснить почему. Если у вас был предмет метрология в вашем учебном заведении, то я думаю вы уже догадались о чём разговор и с какими явлениями приходилось сталкиваться, если вы пытались измерить абсолютный вес или длину любого объекта.
Начну с того, что у любого физического объекта непрерывные параметры (длина, вес, объём, плотность и т.д.) являются динамическими - они постоянно изменяются во времени в пределе некоторого диапазона значений.
К примеру, захотим мы измерить длину стержня. Скажем заранее, что у нас есть супер идеальный эталон метра, который статический - он не изменяется ни от каких характеристик - не от температуры, не во времени и т.д. И вот прикладываем мы его к этому стержню и попытаемся определить его абсолютную длину. Пускай на первый взгляд наш стержень, где то в районе 30 см. Прикладываем метр и узнаем сперва, что он имеет длину в 29,7 см или 0,297 м, теперь берём электронный микроскоп, чтобы узнать, что там по миллиметрам и микронам - определяем точную длину в 0,2976435 м, но это значение начинает "плавать" - во первых границы стержня не точные, молекулы не расположены ровной стеной, к которой можно прислонить идеальный метр:
Первое упрощение: представим, что нам попался идеальный стержень и в нём всё таки молекулы выстроены на границе идеально ровно. Но как быть с тепловой вибрацией молекул? Граница постоянно меняется (колеблется) - она динамическая. Остановить колебание мы не сможем. Мы можем их уменьшить, но не остановить. Придётся усреднять: чертим некую среднюю линию, чтобы примерно понять где находиться граница объекта. Но усреднение - это уже приблизительное значение, а не абсолютное:
Второе упрощение: представим, что мы остановили все молекулы и построили их в ровную "стену" и замерили эталоном: получили 0,297643581245 м. Как быть дальше? Мы подошли к границе атомов. Если мы попытаемся замерить их точную длину, то упрёмся в квантовые эффекты: точная граница атома нам не известна, так как электронная оболочка не имеет границы и изменяется в каждую долю времени - электрон может быть то на одной орбите, то на другой, при этом и сам электрон вполне возможно не обладает четким контуром - некое "облако". Граница атома - это полностью динамическая величина. И здесь мы опять должны прикидывать приблизительно или упрощать модель, чтобы определить статическую длину:
Получается, что даже умозрительное упрощение модели на каждом этапе не помогает - на новом этапе возникают новые "препоны". То есть каждый раз мы "натягиваем сову на глобус" - пытаемся абсолютно дать точное значение тому то, что изменяется и во времени и в пространстве, и не имеет чёткой структуры. Ни длина, ни объём, ни плотность и т.д. не ЯВЛЯЮТСЯ СТАТИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ - они все ДИНАМИЧЕСКИЕ - мы можем их узнать только до какой-то точности, потому, что мы пытаемся динамические величины измерить статическим способом. Нет объектов во вселенной с длиной метр 1,72! Потому, что параметр 1,72 - это статический параметр. Вероятность его появления по теории вероятности равна нулю. И это верно, так как для этого нужно было бы остановить все атомы, ровно их выстроить, остановить все электроны, остановить все остальные квантовые эффекты, чтобы замерить абсолютную длину, вес или ещё чего-либо.
Для веса будет тоже самое: чем точнее мы будем измерять, тем труднее на будет узнать его точное значение. Неоднородное гравитационное поле Земли, вылет молекул за границы объекта, диффузия молекул между средами на границе, неоднородность магнитного поля, изменение массы атомов от их скорости (специальная теория относительности), квантовые эффекты: появление и исчезновение виртуальных частит в физическом вакууме между молекулами и т.д. встанут "стеной" перед точным определением веса объекта.
Теория вероятностей на "кончике пера" показывает, что такие объекты существовать не могут, но могут существовать объекты - динамические, параметры которых будут попадать в нужный диапазон. Такая вероятность есть.
Это самый удивительный для меня "парадокс" с глубоким смыслом. То, что это факт получен в теории вероятностей удивляться не нужно, так как данный предмет сам основан на наблюдениях нашего мира. Удивляет то, что можно провести цепочку рассуждений от банального подбрасывания монетки, до глубоких принципов строения нашего мира просто на листке бумаги.
-------------------------------- P.S. ----------------------------------
Интересное замечание от Михаила Левина по поводу основной темы:
А то, что вы описали - не парадокс теории вероятностей вообще! Теория вероятностей - математическая наука, это по сути аксиоматическая теория типа геометрии, описывающая некую абстрактный объект в абстрактном пространстве. Сопоставление с физикой (которая, кстати, тоже по сути мат.модель!) - это попытка применения. Если применить получится - ну, хорошо, если не получится - значит неправильно применили.
Наблюдение от Александр Г. по поводу среднеквадратичного отклонения при использовании фильтра Калмана:
При обработке радиолокационной информации традиционно считается необходимым применять фильтр Калмана, потому что "доказано, что он является оптимальным". Действительно, если следовать вычислительной схеме фильтра Калмана, мы будем получать результат вычислений со все бОльшей точностью (меньшей с.к.о.). Однако после некоторого числа замеров с.к.о. на выходе фильтра станет на порядки меньше размеров наблюдаемого объекта. И отсюда вопрос: а имеет ли смысл оптимальная фильтрация "по Калману" при таком числе замеров? Парадоксально, но факт: люди, практически сталкивающиеся с этим вопросом, приходят к тому, что оптимальный фильтр Калмана неприменим, а использовать нужно его не-оптимальную (!) версию "расширенного фильтра Калмана".