Теорема. Для любого простого числа 4к - 1 второго рода по классификации Ферма найдется квадрат n > 4k - 1.

Самое первое простое число второго рода - это число 3. Очевидно, 3 < 4. Второе простое число второго рода - это 7. Очевидно, 7 < 9. Предположим для достаточно большого простого числа n второго рода 4к - 1 есть квадрат n' > n, а для следующего простого числа второго рода 4к - 1 нет такого квадрата n" > 4к - 1. Тогда по аксиоме спуска и для n нет такого квадрата, а это противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему. Очевидно, 4k - 1 - n < 0. Поэтому 4к - 1 не может быть суммой двух квадратов.