Интуиция Ферма позволила ему разгадать закономерности образования простых чисел. Все простые числа кроме числа 2 представимы в виде 4к + 1 и 4к - 1. Если мы распределим все натуральные числа по классам вычетов по модулю 4, то все простые числа окажутся в двух классах вычетов по модулю 4 в классе вычетов по модулю 4, где находятся все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1 и в классе вычетов, где находятся все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1 и являются простыми, являются суммами двух квадратов, а все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3 никогда не могут быть суммой двух квадратов. Это позволяет нам строить простые числа вида 4к + 1 и 4к - 1.
Алгоритм построения простых чисел вида 4к + 1.
Первое простое число вида 4к + 1 есть 5. Чтобы получить второе простое число вида 4к + 1 необходимо добавить к 5 столько раз число 4, пока не получится простое число. Таким простым числом, очевидно, будет число 13 и так далее процесс получения простых чисел вида 4к + 1 продолжается. Таким образом, мы получаем последовательно простые числа 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, и т. д.
Алгоритм построения простых чисел вида 4к - 1, где к - целое число.
Первое самое маленькое такое простое число есть 3. Чтобы получить второе простое число второго рода вида 4к - 1, необходимо к 3 добавить число 4 столько раз, пока не получится простое число. Очевидно, таким простым числом будет число 7 и т. д. процесс продолжается. Таким образом, мы получаем последовательно простые числа второго рода по классификации Ферма 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, и т. д. С уважением, Б. С. Кочкарев
