Фатио предположил, что вселенная наполнена мельчайшими корпускулами, которые движутся беспорядочно и прямолинейно с очень высокой скоростью во всех направлениях. Для примера он использовал некий объект С, на котором расположена бесконечно маленькая плоскость zz и сфера с центром в zz с радиусом 1/r^2 интенсивности потока корпускул к zz. Некоторые корпускулы, отраженные объектом С, покидают плоскость zz. Их средняя скорость меньше и импульс потока слабее. Поток корпускул Фатио представил в виде пирамиды PzzQ, которую поместил в эту сферу (1/r^2). Вокруг С можно нарисовать множество таких пирамид. Точка М - центр объекта С лежит на плоскости zz и уходит в бесконечность, т.к. пирамиды находятся внутри сферы и являются поверхностями отрицательной кривизны Н.И. Лобачевского.
Фатио предположил, что корпускулы отражаются в пирамиду TzzV, но не достигают TV, а прибывают в tu, причем при увеличении скорости Tt может стать сколь угодно малым по отношению к TZ. Какова вероятность обнаружения объекта С в космическом пространстве при исследовании направления потока корпускул гравитационной жидкости при экранировании этого потока от плоскости zz, расположенной на объекте С? Сколько времени потребуется для прохождения потока туда и обратно и какова длительность самого процесса зеркального экранирования в пирамиде TzzV по сравнению с экранированием потока на примере пирамид PzzQ и RzzS?
"Рассмотрим теперь некоторую прямую l, проходящую через точку М , например прямую RM; пусть эта прямая пересекает окружность k во второй точке R* (черт.245); тогда прямая l должна перейти в окружность или прямую l* так, что l* будет перпендикулярна к k в точках R и R*. Это возможно только в том случае, если l* тождественна с l. Поэтому преобразование инверсии переводит все диаметры круга k в самих себя. Так как эти прямые на расширенной плоскости имеют помимо точки М еще одну общую точку, именно бесконечно удаленную точку U, то точки М и U должны переходить одна в другую. Следовательно, совокупность прямых, не проходящих через точку М, и совокупность окружностей, проходящих через точку М, должны взаимно переходить друг в друга." (Там же. С. 224)
"...Мы рассмотрим особо совокупность преобразований, сохраняющих окружности, которые переводят определенный круг k вместе с его внутренностью в самого себя. Пусть n - круг, ортогональный к k; тогда инверсия относительно n во всяком случае принадлежит к группе Н. Можно показать, что всякое отображение, принадлежащее группе Н, можно получить тремя инверсиями, основные окружности которых ортогональны к k , т.е. такими тремя инверсиями, которые сами принадлежат к группе Н." (Там же. С.225) То есть три пирамиды Фатио - PzzQ, TzzV и RzzS - это три инверсии, основные окружности которых ортогональны к k (окружности объекта С в примере Фатио) , принадлежат к группе Н.
"Пусть R и S - две точки пересечения дуги с окружностью k (внутри круга); тогда...гиперболическое расстояние s между точками А и В
...s = c | ln (AR*BS)/ (BR*AS)|. " (Там же. С.226)
"Вопрос о применимости конформного отображения поставил его в центр плодотворных геометрических исследований. ...Если область G конформно отображена на область гиперболической плоскости К* и если пытаться непрерывно изменять это отображение так, что оно остается конформным, но при этом любые две выбранные точки все более удаляются одна от другой (планеты разбегаются...), то область К* постепенно заполняет всю гиперболическую плоскость". (Там же. С.235)
"...Совокупность конформных отображений области Н на себя представляет семейство гиперболических движений с тремя параметрами. Конформное отображение области Н на плоскость Е, однако, невозможно. Так как конформные отображения евклидовой плоскости Е на себя представляют преобразования подобия, а преобразования подобия образуют семейство с четырьмя параметрами. Если представить их в виде w=az + b, то они определяются двумя комплексными числами а и b, т.е. четырьмя действительными числами. " Отсюда - вероятность экранирования от искомой экзопланеты р=1/4 (а не 1/3).
Когда область К* заполняет всю гиперболическую плоскость G, расстояние между двумя точками возрастает до определенного конечного максимума (плоскость G = 247 M, где постоянная точка М задана, принадлежит плоскости G, имеет границу в пространстве. В нашем случае - Земля). Нормаль, выходящая из точки М - постоянное положительное число r ("ракета") входит в формулу МР*МQ + r^2, где Р - всякая точка, отличная от т.М, а Q - образ точки Р, лежит на полупрямой МР (станция"МиР"...).
"Существует, однако, важная теорема о "дизъюнкции": всякая подобная поверхность может быть конформно отображена либо на внутренность круга, либо на эвклидову плоскость."(Там же. С.236) "Так возникает поставленная впервые Плато (Plateau) задача: для всякой заданной замкнутой пространственной кривой найти кусок минимальной поверхности, ограниченный этой кривой." "Кусок" минимальной поверхности (Н*), ограниченной заданной кривой g=247 m - это кратчайший путь и минимальное время пути от Земли до экзопланеты Z, который мы ищем.
"Дуглас заменяет эту задачу еще более общей; он ищет не только минимальную поверхность М, заключенную внутри заданной пространственной кривой r (сфера Фатио с центром в zz), но также и конформное отображение этой поверхности на круг К - рассматривает отображение , переводящее кривую r в окружность k круга К. Оказывается, всякой хорде s (пирамиды Фатио) кривой r при отображении ее концевых точек соответствует хорда s* окружности k. Если принять отношение s*/s за длину хорды s и образовать из обратных величин квадратов этих длин по всем хордам кривой r среднее, то при искомом отображении это среднее значение будет наименьшим (двойной интеграл аргументов точек P* и Q* окружности k, в которые перешли точки Р и Q кривой r). Таким образом, можно сказать, что искомое отображение отдаляет в среднем все точки кривой r на наибольшее возможное расстояние друг от друга. Отображение, обладающее таким экстремальным свойством, всегда существует. ...Декартовы координаты остальных точек минимальной поверхности М можно представить как функции точек круга К.
Если предположить, что кривая r плоская, то поверхность М вырождается в плоскую область G (G=247 M), ограниченную кривой r.
"В соответствии с этим отображение i = aua^-1 представляет собой преобразование, ... которое сохраняет неподвижными точки (точки пространства-времени)окружности k (сфера Фатио с центром в zz), а внутренность и внешность этого круга переводит друг в друга. Отображение i называется инверсией или зеркальным отражением по отношению к кругу k ("вселенной" К). Радиусы окружности k ортогонально пересекаются в центре М (центре масс объекта С). "Исследуя общее поведение конформных отображений, представляемых нелинейными функциями, например функцией w = z^2, Риман пришел к поверхностям, представляющим расширенные поверхности шара или плоскости". (Там же. С.238)