Закон сохранения энергии выполняется только в отношении центра масс. Энергия неинвариантна. При переходе из одной системы в другую мы находим, что суммарная энергия движущихся навстречу одинаковых шаров меняется.
E кин-E’ кин = 2VV’
Суммарный импульс шаров при этом не меняется.
Если задаче упругого столкновения подходить строго, задача столкновения бильярдных шаров очень сложна. Теория Бильярда отлично и верно изложена в трудах Кориолиса. Кориолис, в отличие от наших академиков, отлично знал, что решается задача столкновения только относительно центра масс этих шаров. Сейчас я поделюсь с Вами тайной Кориолиса. Давайте, сейчас упростив задачу Кориолиса, примем, что шары находятся на абсолютно скользкой поверхности, и их вращение отсутствует.
Задача: бильярдный шар движется со скоростью V10 и происходит лобовой удар во второй шар одинаковой массы.
Найти: скорости шаров после столкновения
Решение:
Шаг первый – Находим центр масс. Центр масс находится на половине расстояния между шарами и движется навстречу второму шару со скоростью V10\2. Тогда в системе связанной с их центром масс шары движутся навстречу друг другу со скоростью V10\2 каждый.
Шаг второй Их суммарная энергия в системе связанной с центром масс
Е кин = 2М* (V10\2)^2/2 = 0,25 М *V10^2.
Это в два раза меньше чем энергия первого шара в системе бильярдного стола.
Шаг третий. Для решения задачи составим систему уравнений сохранения энергии и импульса в системе связанной с центром масс с двумя неизвестными. Для импульса система не имеет значения, импульс инвариантен, в отличие от энергии. Но лучше перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс
Шаг 3.1 Суммарный импульс в системе отсчёта, связанной с центром масс, равен нулю. При движении тел относительно центра масс, он всегда буден равен нулю. Из этого следует V’11 =- V’21
Шаг 3.2 Суммарная энергия 0,25 М *V10^2== 2М* (V10\2)^2/2 . В системе отсчёта связанной с центром масс шары отскакивают друг от друга и удаляются с той же скоростью.
Шаг 4 Переход обратно к системе связанной со столом. Поскольку центр масс после столкновения продолжает движение с той же скоростью и в том же направлении, то перейдя в исходную систему отсчёта опять, мы получим, что в системе связанной с бильярдным столом шары обменялись скоростями.
Если мы пустим навстречу два одинаковых шара, их центр масс будет покоиться относительно стола. Это будет иллюстрация нашего решения в системе отсчёта связанного с центром масс.
В следующий раз я покажу, что если эту задачу с горем пополам можно интерпретировать как закон сохранения энергии в системе связанной с бильярдным столом при лобовых столкновениях, то при нелобовом столкновении, такой фокус не проходит.
Теперь усложним задачу, и проверим, как работает закон с шарами разной массы.
Задача: шар из алюминиевого сплава движется со скоростью V10 и происходит лобовой удар во второй стальной шар массой в три раза больше.
Найти: скорости шаров после столкновения
Решение:
Шаг первый – Находим центр масс. Центр масс находится на 3\4 расстояния между шарами от первого шара, и движется навстречу второму шару со скоростью 3\4 V10. Тогда в системе связанной с их центром масс шары движутся навстречу друг другу со скоростью 3\4 V10 и 1\4 V10 каждый. Относительно стола центр масс общей массой 4 М движется от первого шара ко второму со скоростью 1\4 V10 . Алюминиевый шар движется быстрее относительно масс в три раза
Шаг второй Их суммарная энергия в системе связанной с центром масс
Энергия алюминиевого шара Е кин1 = М* (3\4V10)^2/2 = 9\32 М *V10^2.
Энергия стального шара Е кин2 = 3М* (1\4V10)^2/2 = 3\32 М *V10^2.
Общая энергия Е кин сумм = 12\32 М *V10^2=3\8 М *V10^2
Это будет 6\8 от энергии первого шара в системе связанной со столом.
Шаг третий. Для решения задачи составим систему уравнений сохранения энергии и импульса в системе связанной с центром масс с двумя неизвестными. Для импульса система не имеет значения, импульс инвариантен, в отличие от энергии. Но лучше перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс
Шаг 3.1 Суммарный импульс в системе отсчёта, связанной с центром масс, равен нулю. При движении тел относительно центра масс, он всегда буден равен нулю.
Из этого следует V’11 =- 3V’21
Шаг 3.2 Суммарная энергия
Пусть V’21 по модулю = х
Тогда М *(3х)^2\2 + 3М*х^2 \2 = 3\8 М *V10^2
9х^2 \2 +(3х)^2 \2 =3\8 V10^2
6х^2=3\8 V10^2
X =SQRT(3/48) = 1\4 V10
V’11 = 3\4 V10
Шаг 4 Переход обратно к системе связанной со столом. Поскольку центр масс после столкновения продолжает движение с той же скоростью и в том же направлении, то перейдя в исходную систему отсчёта опять, мы получим
V11= 3\4 V10 -1/4 V10 =1/2 V10
V21 =1/4 V10+1/4 V10 =1/2 V10
У нас получилось, что шары разлетятся после удара с одинаковыми скоростями, их суммарная энергия относительно стола.
М*(1\2 V10)^2\2 + 3М*(1\2 V10)^2\2 = 4М*(1\4) V10^2\2 = М* V10^2\2 также не изменится
Почему так получается, потому что импульс - вектор, энергия - скаляр. Если соблюдается закон сохранения импульса, то из выражения
E = I^2/2m,
в одномерном пространстве будет соблюдаться и закон сохранения энергии. Ошибка Эйнштейна и его последователей в том ,что нельзя переносить бездумно законы одномерного мира в двумерный и трёхмерный.