Приведение матрицы к треугольному виду является одним из ключевых шагов в решении систем линейных уравнений. Этот метод заключается в построении верхнетреугольной или нижнетреугольной матрицы с нулевыми элементами под/над главной диагональю соответственно.
Для приведения матрицы к треугольному виду можно использовать несколько методов, но наиболее распространенными являются метод Гаусса. Давайте разберемся на примере простой матрицы.
1. Нам нужно выбрать первый ненулевой элемент в первом столбце и разделить всю первую строку на этот элемент. В данном случае нам всю первую строку нужно разделить на 2 и заменить первую строку на получившиеся значения.
2. Теперь нам нужно вычесть эту первую строку из всех последующих строк, заменяя элементы в столбце под первым элементом на нули. Для этого необходимо подобрать такой коэффициент, чтобы первые ненулевые элементы основной и вычитаемой строки совпали. В нашем случае этот коэффициент для второй строки равняется восьми, а для третьей - десяти.
И для третьей строки:
В итоге мы получаем такую матрицу, где все первые элементы строк, за исключением первой строки, равны нулю:
3. Теперь нужно перейти к следующему столбцу и повторить шаги 1 и 2, пока не будет приведена вся матрица к треугольному виду. У нас осталась только третья строка. Преобразуем её.
Теперь мы полностью преобразовали матрицу к верхнетреугольному виду. Все элементы ниже главной диагонали матрицы равны нулю.
В результате применения метода Гаусса матрица будет приведена к треугольному виду, что упрощает решение систем линейных уравнений. А на сколько проще стало решать линейные уравнения я расскажу в следующей статье.