В этой статье расскажу об очередном интересном математическом парадоксе.
Вы когда-нибудь задумывались, сколько человек необходимо собрать в одном помещении, для того чтобы хотя бы у двоих из них совпали дни рождения? Возможно, кто-то из вас подумает, что 366 или 367, вполне очевидно, но нет.
Для того чтобы у двоих людей праздник оказался в один день достаточно всего 60 человек. Именно при таком количестве вероятность события (так в теории вероятности обозначают искомое «совпадение») достигает 99%. А наличие 23 человек и более в одном помещении гарантирует вероятность 50%.
Давайте разберем более подробно эту ситуацию и посмотрим на цифры и отношения.
Если бы простой обыватель (не математик) начал рассчитывать вероятность совпадения дней рождений двух разных людей внутри группы, то, скорее всего, он бы рассуждал так:
1) Определить количество человек в помещении, предположим, 25.
2) Необходимо посчитать количество всех возможных пар: 25х24/2=300
(25 – количество человек в группе; 24 – количество возможных пар, так как человек сам с собой не может представлять пару; 2 – число, обозначающее «пару»).
3) Сделать логический вывод, что вероятность совпадения дат рождения у одной из 300 пар довольно велика.
Казалось бы – все ясно, что еще нужно. Однако этот подход и теория – ошибочны… С точки зрения математики, как науки, все несколько сложнее и конкретнее, чем в житейской логике.
Так вот, для чистоты и достоверности расчетов определим, что в группе людей не встречается 29 февраля, нет близнецов и других подобных условий. Количество человек в группе, например, 27.
Тогда расчеты будут выглядеть следующим образом:
1) Определить вероятность того, что все 27 дней рождений различны, для этого:
запомним дату одного из группы; вычислим вероятность того, что дата второго не совпадает с первым 1-1/365; аналогичным образом вычислим вероятность того, что дата третьего не совпадает с первым и вторым 1-2/365 и т.д.; расчет последней даты будет выглядеть как 1-26/365.
2) Вычислить вероятность того, что ВСЕ дни рождения людей в одном помещении различны. Для этого перемножим все вероятности из пункта
1) 1(1−1/365)х(1−2/365)х…х(1−26/365)
3) Определим вероятность того, что даты двух людей из 27 совпадают:
1–пункт
2)≈68%.
Разумеется это конкретный пример с определенным количеством человек и условиями. Но, с помощью подобных расчетов, вы можете самостоятельно убедиться в том, что вероятность совпадения дней рождения двух человек в группе от 23 человек составит минимум 50%.20:48