Алгоритм синтеза простых чисел двух родов по классификации Ферма. Кочкарев Б. С.

Ферма в 17 веке ввел понятия простых чисел первого и второго рода. В замечании Ферма, которое Сингх назвал изящным, ни одно утверждение не доказывается, хотя утверждения приводятся. Так все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n + 1, и числа, представимые в виде 4n - 1, где n - некоторое целое число. У Ферма из рассмотрения выпало простое число 2. Простые числа, представимые в виде 4n + 1 он называет первой граппой, а простые числа, представимые в виде 4n - 1, второй группой. Далее он формулирует утверждение, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов, в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы. Это свойство простых чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им обладает любое простое число, наталкивается на значительные трудности. Для Ферма это доказательство было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им "приватно", Для Эйлера восстановить доказательство стало делом чести. В 1749 году, после семи лет работы и почти через 100 лет после смерти Ферма, Эйлеру якобы удалось доказать эту теорему о простых числах. Кстати доказательство Эйлера этой теоремы о простых числах мы не нашли.

Можно предложить следующий алгоритм синтеза простых чисел, представимых в виде 4к + 1. Самое маленькое простое натуральное число число , представимое в виде 4к + 1 есть 5. Следующее простое число, представимое в виде 4к + 1 получается добавлением числа 4 к 5 столько раз, пока не получится простое число. Таким простым числом будет число 13. Для получения следующего простого числа, представимого в виде 4к + 1 мы процесс добавления четверки до получения простого числа продолжаем. Таким образом, мы последовательно получаем простые числа, представимые в виде 4к + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, ... Мы в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" доказали, используя аксиому спуска [ 1 ], что все простые числа первого рода являются суммами двух квадратов.

Алгоритм синтеза простых чисел второго рода по классификации Ферма.

Самое маленькое простое число второго рода по классификации Ферма есть 3. Действительно, самое маленькое простое число, представимое в виде 4к - 1 получается при к = 1. Очевидно, это будет 3. Следующее простое число второго рода по классификации Ферма получается добавлением числа 4 к 3 столько раз, пока не получится простое число. Очевидно, таким простым числом второго рода по классификации Ферма будет число 7 и так далее процесс продолжается. Таким образом, мы получаем последовательно простые числа второго рода по классификации Ферма 3, 7, 11, 13, и так далее. Мы в нашей работе "Проблема близнецов и другие бинарные проблемы" доказали используя нашу аксиому спуска, что все простые числа второго рода по классификации Ферма никогда суммами двух квадратов не будут.

Теорема. Для любого простого числа второго рода 4к - 1 найдется наименьший квадрат n, превышающий это простое число.

Доказательство. Первое простое число второго рода 4к - 1 получается при к = 1 это 3. Очевидно, 3 < 4. Второе простое число второго рода 4к - 1 получается при к = 2, это 7. Очевидно 7 < 9. Предположим для достаточно большого простого числа второго рода, представимого в виде 4к - 1 существует наименьший квадрат n превышающий простое число второго рода, а для следующего простого числа второго рода нет такого квадрата. Тогда по аксиоме спуска и для предыдущего простого числа второго рода нет такого квадрата, а это противоречит нашему индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.

Очевидно, 4к - 1 - n < 0. Отсюда 4к - 1 не является суммой двух квадратов.