Математики нашли невыпуклый многоугольник, которым можно замостить плоскость только апериодически. Чтобы доказать принципиальную апериодичность паркета из таких элементов, ученые предложили свой собственный метод, в котором обосновывают геометрическую несоизмеримость иерархической структуры образующейся мозаики. По словам ученых, на основе найденного 13-угольника можно построить целый класс многоугольников с подобными свойствами. Препринт с результатами исследования опубликован на arXiv.org.
Замостить плоскость многоугольниками можно несколькими способами. Во-первых, можно создать периодический паркет, в котором элементы складываются в мозаику с трансляционной симметрией. То есть если сдвинуть ее в нужном направлении на нужное расстояние, то она наложится на себя. С помощью комбинаторных рассуждений можно доказать, что у выпуклых многоугольников в периодическом паркете может быть только три, четыре, пять или шесть сторон. При этом замостить плоскость можно любым трех- и четырехугольником, все подходящие пятиугольники делятся на 15 классов, а шестиугольники — на три. Подробнее паркетах из выпуклых многоугоульников — в нашем материале «Пять углов».
Во-вторых, если выкладывать многоугольники определенным образом, то из некоторых из них можно сложить и непериодические паркеты, например с помощью замощения Фодерберга невыпуклыми девятиугольниками. Все известные примеры таких замощений чувствительны к правилу, по которому плитка укладывается в мозаику, и из этих же элементов можно сложить и периодический паркет. А все принципиально апериодические паркеты, известные на сегодня, можно сложить только если использовать несколько типов элементов (например мозаика Пенроуза, сложенная из двух типов ромбов) или если элементы определенным образом раскрашены. Такого многоугольника, которым можно замостить плоскость апериодически без использования других элементов, на данный момент неизвестно.
Группа математиков под руководством Чейма Гудмана-Страусса из Национального музея математики в Нью-Йорке опубликовала препринт, в котором доказывает, что апериодическим будет паркет из полидельтоидов. Основываясь на классических типах мозаики (в частности мозаике Лавеса), математики нашли довольно простую форму плитки, которая может быть апериодической. Один элемент этого паркета — это невыпуклый многоугольник из восьми дельтоидов (четырехугольников, у которых попарно равны соседние стороны: две длинные и две короткие). Один элемент паркета состоит из восьми дельтоидов.
Чтобы доказать, что любой паркет из таких многоугольников будет непериодическими, ученые предложили собственную схему, в которой доказали, что такими элементами можно замостить плоскость, и что плитка образуют «метапаркет» — то есть отдельные элементы складываются в кластеры, для которых выполняются те же правила что и для единичных элементов, то есть структура мозаики — иерархическая.
Собственный метод геометрической несоизмеримости иерархического паркета математики дополнительно подтвердили независимыми комбинаторными методом с использованием численных расчетов. С помощью них ученые показали, что сильная апериодичность паркета характерна как на масштабе отдельных элементов, так и на масштабе кластеров из этих элементов, которые комбинаторно эквиваленты отдельным полидельтоидам.
Более того, ученые показали, что этот элемент — лишь один представитель целого класса многоугольников, которыми можно замостить плоскость апериодически. Независимо изменяя длины двух сторон в многоугольнике, можно получить непрерывное множество различных апериодических плиток.
Математики также предоставили доступ к исходному коду, с помощью которого доказывали апериодчность численно, и предложили желающим проверить полученные ими результаты.
Еще одна математическая задача, связанная с многоугольниками на плоскости, — поиск ее хроматического числа. Больше 70 лет математики пытаются определить, скольких цветов достаточно для раскрашивания плоскости таким образом, чтобы на ней не было двух точек одного цвета, расположенных на расстоянии в один сантиметр друг от друга. Например, в 2018 году Обри ди Грей показал, что четырех цветов для этого не хватит. Подробнее об этом — в материале «Раскраска для математиков».