Введение. Две задачи про этажи.
Некоторые задачи не требуют сложных вычислений и каких-то особенных знаний, но могут вызывать сложности даже у математически подкованных взрослых. В этом их прелесть: иногда сын решает правильнее папы, и можно устроить настоящее семейное соревнование. Про некоторые из таких задач я и хочу сегодня рассказать. В них не очень заметно одно нужное, но очень простое действие - прибавление или вычитание единицы.
Видимо, специально, чтоб мне было легче начать статью, в доме сегодня отключили свет и лифт перестал работать. Нам с дочкой на прогулку пришлось идти по лестнице.
Дочка спустилась сама, весело топая по порожкам, поднималась тоже сама, попросившись на руки только на седьмом этаже. На девятом я ее снова поставила на ноги. Сколько этажей я ее несла?
Тут все просто, она прошла до 7 этажа сама, а потом до девятого я ее несла, то есть всего 9-7=2. С 7-го по 9-й - это 2 и о чем тут еще рассуждать? А представим себе, что дело было так:
Я очень сильно устала, поднималась медленно и на каждом этаже с 7 по 9 ходила проверять не начал ли работать лифт. Сколько раз я это сделала?
Тут уже 9-7 нам не поможет, тут придется из девяти этажей вычесть только 6, которые я спокойно поднялась по лестнице, не проверяя лифт. Получится, что проверку я выполнила 3 раза. Есть в чем запутаться!
Но имеется способ распутаться. Это прямой подсчет: с 7 по 8 - один этаж, с 8 по 9 - второй, всего два. А во второй задаче я проверяла лифт на седьмом, восьмом и девятом этажах, то есть три раза. А что если прямой перебор невозможен? Я, например, часто сомневаюсь в границах цикла, когда приходится программировать. На всякий случай проверяю себя: составляю аналогичную задачу, но с другими числами или смотрю что будет, если цикл проработает только один раз.
Приведу пример. Недавно мы забыли номер квартиры нашей знакомой. Мы знали где расположена квартира, на каком этаже, но домофон на подъездной двери требовал число. Рядом с дверью висела табличка, на которой было указано, что в этом подъезде располагались квартиры с 217 по 252. Сколько всего квартир в подъезде? Дети стали вычитать 217 из 252. А если бы в этом подъезде были только квартиры с 217 по 218? Тогда получилась бы только одна квартира? Но перебор показывает, что их две: 217 и 218. "Значит, надо прибавить единицу!" - сказали вместе сын и дочь. Прозвучало необоснованно, конечно, но ошибка в модели стала очевидна.
Три задачи про клумбы.
Мама и Соня посадили на даче цветы и хотят огородить клумбу простым заборчиком: поставить колышки через каждый метр и натянуть между ними веревку. Сколько колышков надо попросить у папы, если периметр клумбы 6 метров (размер клумбы метр на два)?
Тут все понятно: 6 метров забора, по колышку на каждый метр, значит шесть колышков. Но на всякий случай можно себя проверить, нарисуем как выглядит такая клумба сверху.
А теперь чуть-чуть изменим задачу.
Мама и Соня посадили на даче цветы вдоль дорожки и хотят поставить перед ними простой заборчик (только со стороны дорожки): поставить колышки через каждый метр и натянуть между ними веревку. Сколько колышков надо попросить у папы, если длина забора 6 метров?
В этом случае шести колышков нам не хватит, веревка должна крепиться с двух сторон, так что даже для забора длиной в 1 метр нам потребуется 2 колышка. А на 6 метров? Проверить свой ответ можно по рисунку.
Мама и Соня решили вокруг клумбы размером 1 на 2 метра сделать дорожку из плитки размером 1 метр на 1 метр. Сколько плиток им потребуется?
Ни разу не видела тротуарную плитку таких размеров, но, думаю, что допустимо предположить ее существование. Периметр клумбы, как и раньше, получается 6 метров, но плиток потребуется 10! Надо добавить еще по одной на каждый угол.
Разрезы и распилы. От дошкольников до выпускников.
Бревно распилено на 5 частей. Сколько было сделано распилов?
Т.Т. Левитас "Нестандартные задачи по математике для дошкольников"
До того, как бревно начали пилить оно представляло из себя одну часть, каждый распил добавлял еще одну. Значит распилов всегда будет на один меньше, чем частей.
На палке отмечены поперечные линии красного, желтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, то получится 9 кусков, если по жёлтым - 7 кусков, а если по зелёным - 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трех цветов?
И.В. Ященко "ЕГЭ:4000 задач с ответами по математике."
Это, конечно, задача из базового ЕГЭ, а не профильного, но она там одна из последних, считающихся сложными. В ней самому надо догадаться сначала посчитать распилы, а потом уже сложить и снова посчитать части, но смысл-то один, что здесь, что в предыдущей задаче!
А вот еще одна задача из сборника Левитаса для дошкольников:
На сколько частей разделится цепочка если распилить одно ее звено?
Автор предлагает сначала нарисовать цепочку, а потом еще обязательно сделать ее из скрепок или английских булавок. Не будем с ним спорить. А ответа в этой задаче будет целых 2, в зависимости от того, какое звено распилили.
Сольфеджио. Урок, на котором 3+3=5.
Если вам или вашему ребенку довелось учиться в музыкальной школе, то вы наверняка знакомы с музыкальными интервалами. Интервал - это два звука, звучащих одновременно. У каждого интервала есть название и числовое обозначение. Тройкой, например, обозначается терция, а строится она так: берем любую ноту, пусть будет до и считаем звуки, загибая пальцы: до, ре, ми. Третьей оказалась нота ми, значит она и будет верхней нотой терции, построенной от ноты до. Теперь построим терцию от ми. Считаем: ми, фа, соль. Значит верхняя нота второй терции - соль. А посчитаем-ка какой интервал получился у нас между до и соль! Снова загибаем пальцы: до, ре, ми, фа, соль. Получилось 5, называется этот интервал квинтой, звучат все построенные интервалы очень благозвучно, но вот интервал, обозначенный цифрой 5 получился из двух интервалов, обозначенных цифрой 3, разве не удивительно?
Сколько раз надо сдвинуться на секунду (обозначается цифрой 2), чтобы пройти целую октаву (обозначается цифрой 8)?
Еще немного разных задач.
У Маши 3 брата и 2 сестры. Сколько братьев и сестер у ее брата Миши?
"Все задачи "Кенгуру". Сборник задач конкурса за 1994 - 2018 годы. Начальная школа."
Да, кроме Маши в семье еще две девочки и три мальчика, значит у Миши сестер целых три, а брата только два.
Или задача из варианта другого года.
Какое наименьшее число детей может быть в семье, если у каждого ребенка есть хотя бы один брат и одна сестра?
А вот эта, из того же сборника конкурса "Кенгуру":
Сережа шел по лестнице, шагая через ступеньку (первую ступеньку он пропустил). При этом он считал шаги: "Один, два, три....". После того, как он сказал "пять", оказалось, что осталась одна ступенька. Сколько всего ступенек на лестнице?
Кстати, если пронумеровать все ступеньки, то сначала он наступил на вторую, потом на четвертую.... а если сегодня второе мая, то какое число будет послезавтра?
В сборнике для дошкольников тоже есть задачи про ступеньки:
Лестница состоит из 7 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы быть на середине?
Или целые этажи:
Каким сверху будет шестой этаж девятиэтажного дома?
Вопросов не возникнет, если понять, что над шестым в доме еще 3 этажа. Но ребенку надо понять под каким углом на задачу посмотреть. Ну и, конечно, она может быть отнесена к любым упорядоченным объектам.
Коля стоит в шеренге третьим, если считать слева направо и пятым, если считать справа налево. Сколько всего детей стоит в шеренге?
Коля третий слева, значит левее него находится два человека. Пятый справа, значит правее - четыре. Теперь уже можно сложить, только надо не забыть при этом про самого Колю.
Заключение. Снова про лестницы и ступеньки.
Три недели назад я опубликовала опрос с задачей про ступеньки. На данный момент проголосовало за один из вариантов ответа 15 человек, мнения разделились примерно поровну. Как заметила одна из подписчиц, оба варианта могли бы быть верными. Однако, в нашей стране мы заходим с улицы обычно на первый этаж, а не на нулевой, так что до третьего этажа нам надо подняться на только 2 этажа, а до шестого - на 5. Если в первом случае требуется подняться на 30 ступенек, получается 15 ступенек на этаж, значит, чтобы подняться вверх на 5 этажей, то придется пройти 75 ступенек! Сама несколько раз пересчитывала, перед тем как опрос публиковать.
Кстати, если вы живете на пятом этаже в доме без лифта и хотите заказать доставку стиральной машины, то некоторые фирмы возьмут с вас плату за подъем на 4 этажа, а некоторые - на 5. Интересно, они сами не понимают, что поступают нечестно, или надеются, что клиенты не поймут?
Так что, давайте любить своих детей независимо от того, умеют ли они считать до десяти, но будущим грузчикам лучше рассказать про подсчет этажей до того, как придет время получать зарплату!
