Продолжаем рубрику «Жизнь в науке, наука в жизни», в которой мы публикуем материалы ученых Тамбовского государственного технического университета об интересных фактах, явлениях, открытиях в разных областях науки. Сегодня доцент кафедры «Информационные системы и защита информации» Дмитрий Поляков расскажет о Биноме Ньютона.
Сегодня хочу поговорить о таком замечательном выражении как «Это не Бином Ньютона». Наше всё – Яндекс считает, что фраза «Это не бином Ньютона» пошла в народ прямо из романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита». Но я не лингвист и потому является ли Михаил Афанасьевич родоначальником этого яркого образного выражения достоверно не скажу. Однако в сети упоминаются и другие варианты, например, «подумаешь, Бином Ньютона» или «Тоже мне, Бином Ньютона».
Тем не менее, во всех этих вариантах Бином Ньютона приводится как некий абсолютный эквивалент чего-то сложного, непостижимого… Что некоторым образом и раздражает, ведь Бином Ньютона не очень сложная штука и я попробую Вам это показать.
Но, вначале, все же, по законам жанра, напугаю. Итак, прошу любить и жаловать Бином Ньютона во всей своей красе:
Первым шагом в её упрощении избавимся от страшной записи после запятой:
На математическом языке эта запись означает, что формула верна для любых действительных чисел a и b, а также целых неотрицательных n.
Если Вы не математик, то действительные числа – это все числа, которые Вам известны. Возможно, Вы что-то слышали о комплексных числах и вряд ли о кватернионах. Но если вы не математик, то крайне маловероятно, что пользовались ими.
Что же касается целых неотрицательных чисел, то, держу пари, они известны Вам буквально с первого класса. Если «да», то вы без труда сможете продолжать их ряд: 0, 1, 2, 3 ,4, 5… аж до самой бесконечности.
То есть Бином Ньютона – это способ раскрыть скобки для суммы двух произвольных чисел, возведённых в некоторую неотрицательную степень. Заметим, что в школе мы с вами изучали частный случай такой формулы и думаю, многие помнят, что
Это и есть частный случай Бинома Ньютона при n равным 2.
Ну что ж, разобрались, что такое a, b и n. Теперь формула стало чуть короче:
Сделаем ещё пару преобразований, чтобы в дальнейшем прийти к знакомым с детства формулам. Итак, ещё в первом классе мы с вами узнали, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, тогда:
или
В том же первом классе мы узнали и о симметричности произведения, а именно, что от перемены мест множителей значение произведения не меняется. А потому в правой части нашей формулы без каких-либо последствий для её корректности поменяем местами
Получим немного другое представление Бинома Ньютона:
Символ суммы:
всего лишь означает, что записанный за ним общий член
должен быть записан для каждого k=0,1,2,3,4,5,…,n и просуммирован, то есть:
Заметим, что в появившейся справа сумме все члены имеют тот же общий вид, что и
И отличаются лишь значением k. Также заметим, что первая степень a равна n, после чего степени a каждый раз уменьшаются на 1, вплоть до того, что данная степень станет равной n-n или 0. Степень b, напротив, в первом слагаемом равна 0, а в каждом следующем увеличивается на 1, пока не станет равной n. Причем степень b равна k, а значит совпадает с верхним индексом C. Нижний же индекс этого числа всегда равен n.
Научимся использовать Бином Ньютона для возведения суммы пары чисел в произвольную степень, на основе вышеприведённой формулы. В качестве примера возьмём n= 4.
Итак, необходимо раскрыть скобки для суммы чисел в четвертой степени.
Шаг первый выписываем степени a от 4 (n) до нулевой:
Шаг второй добавляем к ним множитель b со степенями от 0 до 4 (n):
Шаг третий добавляем к каждому множителю коэффициент C с нижним индексом, равным 4 (n) и верхним k, то есть равным степени b и увеличивающимся как эта степень от 0 до 4 (n) включительно.
Шаг четвёртый вспоминаем, как возводить произвольное число в нулевую и первую степени, а именно:
и упрощаем выражение.
Шаг пятый заменяем коэффициенты C на конкретные значения. Правда нам бы их получить. Дело в том, что
называется биномиальным коэффициентом (слово биномиальный как бы намекает, на то что он используется в Биноме) и для конкретных n и k равен не менее конкретному значению. Осталось разобраться: как же нам найти данные значения? А в этом нам поможет не менее замечательный чем Бином Ньютона и заявленный в заголовке Треугольник Паскаля.
Итак, для того чтобы построить Треугольник Паскаля рассмотрим три свойства биномиальных коэффициентов
существует только при условии, что k≤n.
2. Для любого целого и неотрицательного n
3. Для любых целых n и k верно, что
Интересно, что этих свойств достаточно, чтобы вычислить любой
Построим для этого таблицу размерности n+1 на n+1 (для конкретного примера выберем n = 9).
Пронумеруем столбцы и строки от 0 до n (равное 9 в нашем примере). Будем считать, что строки соответствуют n, а столбцы – k. Попробуем заполнить таблицу, таким образом, чтобы в n-ой стоке и k-ом столбце.
Согласно первому свойству, все элементы выше основной диагонали не существуют, так для них k>n. Заполним их прочерками.
Рассмотрим второе свойство. Во-первых, из него следует, что все биномиальные коэффициенты, у которых k= 0 – единицы. А в нашей таблице – это элементы первого столбца. Также, согласно второму свойству, единицами являются все биномиальные коэффициенты, у которых верхний и нижний индекс равны. А им в таблице соответствует главная диагональ. Заполним первый столбец и главную диагональ единицами.
Осталось только третье свойство. Оно говорит, что для любых n и k
Заметим, что
элемент n-ой строки, а стоящие в правой части формулы
и
являются элементами предыдущей строки. Следовательно, если n-1 строка заполнена, то на её основе можем заполнит n-ую. Отсюда делаем вывод, что если нулевая строка таблицы заполнена, то последовательно заполняя первую, вторую, …, n-ую строки на основе предыдущей мы заполним всю таблицу и найдем все значения значения.
Заметим, что мы уже на основе двух первых свойств заполнили нулевую и первую строки и, даже, практически полностью заполнили вторую. В ней остался лишь один элемент, соответствующий биномиальному коэффициенту
Согласно третьему свойству рассчитывается как сумма
а эти значения находятся в верхней и верхней слева ячейках относительно рассчитываемой.
Рассмотрим иллюстрацию:
Заметим, что при любых n и k для ячейки, соответствующей
ячейки со значениями
– это верхняя и слева от верхней соответственно. Заполним теперь две недостающие ячейки 3 строки.
и
Аналогичным образом заполним пустые ячейки в следующих строках.
Часть полученной таблицы, состоящая из главной диагонали и чисел, ниже главной диагонали, называется Треугольником Паскаля. Заметим, что его довольно легко построить для любого «разумного» n, особенно если под рукой тетрадка в клетку. Расчерчиваем область, заполняем первый столбец и главную диагональ единицами и вперёд!
Но для нашего Бинома Ньютона особый интерес представляет строка построенной таблицы. Какими же значениями заполнена n-ая строка? Легко видеть, что n в строке собственно значение n и не меняется, а вот k принимает все значения от 0 до n. То есть буквально в n-ой строке лежат коэффициенты
Вспомним, что рассматривая пример возведения в четвертую степень, мы остановились на
Теперь посмотрим на 4 строку нашей таблицы и получим окончательный результат:
Рассмотрим теперь реализацию Бинома Ньютона по порядку. С помощью нулевой и первой строк Треугольника Паскаля получаем тривиальные выражения:
Вторая и третья строки дают такие школьно-ностальгические формулы возведения суммы чисел в куб и квадрат:
Ну и старшие степени, с которыми Вы вряд ли сталкивались в школе, а теперь легко можете построить формулы с помощью Бинома Ньютона.
Кстати Бином Ньютона легко адаптировать и под возведение в степень разности. Действительно
это значит, что все формулы будут верны, нужно лишь в них заменить b на –b. Тогда знак при членах суммы с нечётными степенями b будет минус, а при членах суммы с чётными степенями – плюс. Так как степени bидут подряд и начинаются всегда с чётной нулевой степени, просто считаем первый член положительным, а потом начинаем чередовать знаки.
Итак, возведём в степени от 0 до 9-ти разности чисел, а заодно закрепим алгоритм построения Бинома Ньютона.
На первом шаге выпишем степени a от n до 0.
На следующем шаге допишем к каждому a допишем сомножитель b, степени которого возрастают от 0 до n.
Теперь добавим к ним коэффициенты из Треугольника Паскаля.
Расставим знаки, с учетом того, что первый член положительный, а потом знаки чередуются.
Упростим выражение, вспомнив для первого и последнего члена, что возведение в нулевую степень даёт 1, а умножение на единицу ничего не меняет. А для второго и предпоследнего члена, что любое число в степени 1 – это и есть само число. Тогда получим заключительный вид Биномов Ньютона для степеней разностей от 0 до 9. Технически отличие от предыдущего – это изменения в главной диагонали, диагонали ниже главной и первом и втором столбцах.
Вот таким нехитрым способом при должной сноровке и наличию тетради в клеточку под рукой можно за пару минут раскрыть степень суммы или разности, если она (степень) находится в разумных пределах.
Надеюсь было интересно и Вы по-новому взглянули на Бином Ньютона, школьные формулы и возведение двучлена в степень. Если дочитали до сих пор – обязательно напишите комментарий – не зря же такой труд проделали.