Раннее детство актера Евгения Весника прошло в США, где его отец работал в советском торговом представительстве.
Когда семья вернулась в СССР, глава семьи Яков Ильич руководил строительством металлургического завода «Криворожсталь». В 1937 году отец будущего актера заступился за своего заместителя, арестованного НКВД по нелепому обвинению, после чего Якова Ильича самого арестовали, а потом расстреляли.
Маму актера после этой трагедии сослали в Казахстан, где она провела лагере для жен изменников Родины 17 лет. На прощание мама сказала сыну: «Помни, что твои родители – честные люди».
Сам Евгений после ареста матери был отправлен в детский дом для детей «врагов народа», но по пути сбежал прямо с поезда и вернулся в Москву. В столице он стал вспоминать друзей отца и обратился за помощью к вдове Серго Орджоникидзе.
Женщина отвела мальчика к Михаилу Калинину, который определил его в комнату в коммунальной квартире, в которой до этого жила семья Весников, а также устроил 15-летнего парня рабочим на завод.
Евгений Весник проводил большую часть времени на улице, от которой его спасла учительница русского языка и литературы, правнучка поэта Анна Дмитриевна Тютчева. Она заинтересовала парня участием в драматическом кружке. Женщина объяснила будущему актеру, что улица погубит его, и надо получить серьезную профессию, а, так как карьеру ученого и военного с его биографией ему не построить, то актерское мастерство вполне подойдет.
В 1940 году Весник поступил в Щепкинское училище, а потом началась война, и Евгений поезал в Смоленское артиллерийское училище. В 1944 году он отправился на передовую, забыв обиды на власть. Сам актер много позже признавался, что искренне защищал Родину.
Весник дошел до Берлина, был награжден медалью «За отвагу» и орденом Красной Звезды. Множество осколочных ранений напоминали о войне Евгению Яковлевичу до конца жизни.
После войны Евгений Весник продолжил обучение в Щепкинском училище, которое окончил в 1948 году. Его взяли в Театр Станиславского, на сцене которого он сыграл свои первые профессиональные роли.
Потом был в его творческой биографии Театр Сатиры, а в 1963 году актер исполнил свою мечту, устроившись в Малый театр.
Одну из своих первых ярких ролей в кино Весник сыграл в фильме «Дело №306» 1965 года. Звездой всесоюзного масштаба его сделала роль в комедии «Трембита» 1968 года.
В годы правления Никиты Хрущева актер добился реабилитации своего отца, которому потом в Кривом Рогу даже установили памятник и назвали в его честь одну из городских улиц.
В студенческие годы Евгений Яковлевич женился на однокурснице Клавдии Шинкиной. Когда актер влюбился в цыганскую певицу Лялю Черную, брак распался. Вторая жена Весника – актриса Театра Сатиры Ника Демидова, с который вместе они прожили семь лет. В семье родился сын Евгений, но брак распался – супруга актера ушла к хоккеисту Александру Прохорову.
Третьей супругой актера стала Галина Зенкина, работавшая в Министерстве иностранных дел СССР. Этот союз распался через год. В семье успел родиться сын Антон.
Четвертая попытка наладить личную жизнь оказалась для актера успешной. Как-то к нему обратилась бывшая супруга его фронтового товарища Нонна Каменева. Она приехала к нему с дочкой, и попросила оценить актерский талант девушки. Весник юную леди отговорил становиться актрисой, с ее мамой у него завязались сначала дружеские, а потом более глубокие отношения. Вместе они прожили больше 40 лет, до конца жизни Евгения Яковлевича.
Актера не стало в апреле 2009 года после инсульта в возрасте 86 лет. В 2023 году исполнилось 100 лет со дня рождения актера.