В этой заметке я приведу пример небольшого учебного исследования. Его цель не “открыть новый взгляд” или не “потрясти основы”, а показать привычные "школьные" математические концепции с несколько непривычных позиций, так, чтобы они, с одной стороны, стали интереснее и глубже, а с другой, чтобы с их помощью познакомить школьников, уже увлечённых математикой, с некоторым повседневным инструментарием профессионалов.
Речь пойдёт о треугольниках, о пространствах, о треугольных координатах, о симметрии и совсем немножко о разнице между мерой на множестве и мощностью множеств. Мы построим и исследуем пространство треугольников. Оно очень простое, но последовательно изучить его, полезно, поскольку если кто-либо из ребят выберет себе путь, связанный с математикой или физикой, то ему придётся иметь дело с пространствами куда более сложными и трудно представимыми. Так что хорошо бы приобрести кое-какую интуицию, оперируя чем-нибудь простым.
* * *
Как-то на занятии в маткружке, ученица Ася сказала, что ей кажется, что равнобедренных треугольников, в каком-то смысле, меньше, чем обычных, но она не может точно сказать, что бы это значило. Я пустился было в рассуждения о числе параметров и размерностях, но быстро понял, что так выйдет непонятно и неинтересно. Куда интереснее исследовать новые миры и отмечать на карте свои открытия. И мы все вместе нарисовали карту мира треугольников.
Выбираем подходящие координаты
Треугольников на свете очень много, но если нас интересует только их форма, а не размеры, то любой треугольник определяется с помощью своих углов. Можно было бы использовать эти углы, как обычные прямоугольные координаты для нашей карты, или даже как угловые координаты на сфере, но коль скоро речь зашла о треугольниках, я решил показать ребятам необычные координаты — треугольные.
Есть у равностороннего треугольника одна интересная особенность. Выберем произвольную точку внутри него и проведём три луча, параллельных сторонам треугольника, как показано на рисунке. Границы треугольника отсекают на этих лучах три отрезка. Так вот, сумма длин этих отрезков всегда равна длине стороны треугольника. Доказывается это утверждение без слов, в духе древних: "Смотри!"
Эта теорема превращает треугольник в любопытный и полезный инструмент. Если мы разметим стороны треугольника одинаковыми линейными шкалами (они на рисунке показаны стрелочками), то у любой точки в треугольнике появляются координаты. Причём, сумма этих координат всегда постоянна и равна максимальной отметке шкалы. Это может быть полезным для изображения и анализа трëхкомпонентных смесей. Доли компонент в общем объёме в сумме всегда дают единицу, и треугольные координаты точек тоже обладают таким свойством. На треугольной диаграмме нельзя отобразить некорректную смесь, зато любая корректная смесь имеет свою точку в треугольнике и наоборот. На математическом языке мы скажем, что треугольные координаты определяют изоморфизм между точками внутри треугольника и составами трёхкомпонентными смесей.
Петрологи рассматривают на треугольных диаграммах всякие полевые шпаты и шпинели; металлурги рисуют на них сплавы. Многие из вас видели цветовой треугольник, который используется для выбора цвета в графических редакторах. Ну, а мы с ребятами разместили на треугольной диаграмме любимые виды кофе, собирая их из эспрессо, молока и воды.
Вместо лучей, параллельных сторонам треугольника, можно использовать лучи им перпендикулярные. Согласно теореме Вивиани, сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки на стороны равностороннего треугольника тоже не зависит от точки и равна высоте треугольника. Доказательство этой теоремы тоже можно провести без слов.
Такой метод хорош тем, что легко позволяет повышать размерность диаграммы и, например, строить тетраэдр смесей для четырёх компонент. Так можно нарисовать карту кофе, состоящего из эспрессо, молока, воды и шоколада!
Строим карту треугольного мира
Мы исследуем треугольники и тремя компонентами на треугольной диаграмме могут служить три угла треугольника, в сумме всегда дающие развёрнутый угол. Выходит, треугольные координаты идеально подходят для изображения карты треугольников, какое чудесное совпадение! По осям мы отложим все возможные значения углов, так что на такой диаграмме можно будет найти треугольник любой формы.
В центре мира расположился единственный равносторонний треугольник с координатами (60°,60°,60°). Всякий равнобедренный треугольник имеет координаты (α,α,180° – 2α), которые ложатся на медианы треугольника. Прямоугольные треугольники привязаны к координате 90° и совпадают с координатной сеткой. И вот перед нами ландшафт страны, которую населяют треугольники.
Ровно в середине — правильный треугольник, от него в шесть сторон расходятся тонкие хребты равнобедренных, а треугольная граница, вдоль которой расположились прямоугольные треугольники ограничивает страну остроугольных от диких степей тупоугольных. Мир треугольников открыт, его внешняя граница отсутствует, поскольку те треугольники, что пытаются достичь края своего мира истоньшаются и превращаются в отрезки. Очень здорово гулять по этой карте, переходя из страны в страну, приближаясь к границам и представляя, как меняются её жители.
На карте хорошо видны все отношения между классами треугольников. Они не образуют иерархию вложенных подмножеств, как иногда показывается на страницах учебников, а формируют области, граничащие друг с другом. Равнобедренными могут быть как остроугольные, так и тупоугольные треугольники. Прямоугольные треугольники могут быть равнобедренными, они живут там, где пересекаются линии равнобедренных и прямоугольных треугольников. Ну, а правильный треугольник является одновременно равнобедренным и остроугольным.
Сравните нашу карту пространства треугольников с тем, как обычно классифицируют треугольники:
Иерархическая классификация, конечно, правильная, но она не отражает структуры подмножеств и отношений между ними.
Что показывает наша карта?
При построении нашей карты мы считали все подобные треугольники эквивалентными, неразличимыми, отображая их одной точкой на карте. На языке математики то, что мы сделали называется факторизацией — разложением множества на смежные классы эквивалентных элементов, а сама карта — модулярным пространством треугольников. Факторизацию можно считать обобщением операции разложения на множители:
Треугольник = Масштаб × Форма.
Когда мы строили карту, то «вынесли за скобки» масштаб треугольника, сосредоточившись на том, что сталось: на его форме.
Мы и за пределами математики используем факторизацию, когда объединяем элементы какого-то множества по их общему признаку в фактор-множества. Так мы говорим: "женщина ждёт от мужчины нежности и защиты", "В жены Козерог выберет девушку скромную, неизбалованную", или "что русскому хорошо, то немцу — смерть". Кто все эти люди!? Разумеется, здесь имеются в виду не конкретные персонажи, а элементы фактор-множеств людей, построенных по тем или иным отношениям эквивалентности. Такая "бытовая" факторизация редко бывает строгой и часто вызывает логические ошибки и недопонимание, но она, похоже, является неотъемлемой частью нашего мышления, принципиально позволяя создавать абстракции, такие, например, как числа, знаки Зодиака или нации.
О факторизации я подробно рассказывал в отдельной статье, и упоминал, рассказывая о целых числах. Это настолько важная тема, что никогда не вредно лишний раз поговорить об этой математической концепции.
Факторизуем ещё раз
Наша карта вышла хорошей, но она избыточна. У типичного жителя мира треугольников все три угла различны, обозначим их тройкой (α,β,γ). Всячески поворачивая и отражая треугольник, мы сможем получить пять его эквивалентов: (α,γ,β), (β,α,γ), (γ,β,α), (β,α,γ) и (γ,α,β). Все эти шесть вариантов тоже можно найти на карте:
От одного варианта к другому можно перейти, комбинацией поворотов или отражений всей карты. Получается, что мир треугольников похож на зеркальный калейдоскоп, в котором каждая точка повторяется шесть раз.
Впрочем, не каждая. Равнобедренные треугольники не меняются при зеркальном отражении и поэтому имеют меньше эквивалентов. Например, треугольник (α,α,β) имеет только два эквивалента: (α,β,α) и (β,α,α), получаемых поворотами на 120°. Линии равнобедренных треугольников на карте тоже не меняются при отражениях, но переходят друг в друга при поворотах. Наконец, самый симметричный правильный треугольник переходит сам в себя и при повороте на 120° и при отражении, также как соответствующая ему точка на карте! Сравнительно недавно, в 2017 году, вышла статья Айана Стьюарта "Why do all triangles form a triangle? " в ежемесячнике The American Mathematical Monthly, которая показывает что как бы мы ни строили карту мира треугольников, а наш способ вовсе не единственный, она так или иначе будет отражать симметрии, присущие миру треугольников.
Мы способны избавиться от избыточности карты, если вынесем её симметрию «за скобки», то есть факторизуем саму карту. Это можно сделать если сложить карту, нарисованную на бумажном листе так, чтобы все эквивалентные точки наложились друг на друга и совпали.
В результате получится маленький фрагмент в форме прямоугольного треугольника, он лишён многократного дублирования точек и представляет уже факторизацию модулярного пространства треугольников, по перестановкам вершин. Такая сжатая фактор-карта не избыточна, оставаясь полной. На ней каждая точка — уникальный треугольник и каждому треугольнику полагается уникальная точка. Фактор-карта даёт исчерпывающее представление о структуре классификации треугольников.
Форма этой карты не имеет никакого значения. Всю информацию о пространстве несут границы областей и границы границ.
Принимаем меру
Имея перед собой "ядро" треугольного мира, очищенное от повторений и многократных отражений, мы, наконец, готовы подумать над вопросом ученицы Аси: каких треугольников больше -- равнобедренных или обыкновенных. Считать сами точки на карте дело долгое (бесконечно долгое) и неблагодарное. Георг Кантор показал, что мощности множеств точек, принадлежащих сплошным отрезкам и областям, одинаковы, вернее, неразличимы. Так что этот ответ мало того, что не очень понятен, но ещё и неинтересен.
Вместо этого, мы используем понятие меры. Я не буду приводить его полное строгое определение и положусь на наше с вами интуитивное понимание, основанное на опыте работы с такими мерами, как длина, площадь, объём, вес, количество чего-то счётного и так далее. Пока мы не приводим контринтуитивных примеров (а их в теории мер предостаточно), этого понимания будет довольно. Координатная сетка на исходной треугольной карте равномерная: она нигде не сгущается и не разреживается. Таким образом, длина любого отрезка и площадь любой области на карте не зависят ни от положения на ней ни от ориентации. Это значит, что мы можем использовать полученное нами графическое представление мира треугольников для измерений мер в этом мире, как длин и площадей.
Мы сразу видим, что равнобедренные треугольники во множестве треугольников образуют только границу карты — граница имеет длину, но не имеет ширины и её площадь равна нулю, тогда как все прочие треугольники образуют полноценную область. Благодаря великому русскому математику Андрею Колмогорову мы можем перевести язык площадей на язык вероятностей и сказать, что вероятность встретить равнобедренный треугольник, выбирая их наугад из общего множества треугольников, равна нулю. То же относится и к прямоугольным треугольникам. А равносторонний или равнобедренный прямоугольный треугольник имеют нулевую меру даже во множестве равнобедренных треугольников.
Глядя на фактор-карту, мы можем заметить, что площадь, которую занимают остроугольные треугольники втрое меньше что площади тупоугольных. Значит ли это, что выбирая наугад треугольники из общего множества треугольников, мы будем втрое чаще встречать треугольники, имеющие тупой угол? В каком-то смысле, да, но не более чем "в каком-то смысле". Результат будет очень сильно зависеть от того, как именно мы выбираем треугольники. Если выбирая два угла (или разбрасывая случайным образом три точки на окружности), то тупоугольные треугольники, действительно, будут попадаться в три раза чаще. Если же мы станем доставать три случайные отрезка из которых можно собрать треугольник, то отношение изменится и тупоугольных будет уже почти в четыре раза больше. Впрочем, можно нарисовать три произвольные точки на плоскости, и тогда вероятность построить тупоугольный треугольник станет примерно равной 64% или 82%, смотря как считать. Эта неразбериха говорит лишь о том, что вероятность построить тупо- или остроугольный треугольник условна и существенно зависит от метода построения. Одним из тех, кто занимался такими подсчëтами, был математик Чарльз Доджсон, более известный, как Люис Кэролл.
Треугольные координаты, факторизация, симметрии и меры.. не самая короткая тропинка. На исходный вопрос можно было ответить сразу, но почему бы нам было не прогуляться! Как это часто бывает в путешествии, не так важен конечный пункт, как путь, который к нему привëл. В математике решение не менее ценно, чем ответ.
А моим ребятам, в качестве домашнего задания, было предложено поразмыслить над картой и фактор-картой модулярного пространства параллелограммов, которое тоже можно изобразить на плоскости. Вы можете к ним присоединиться в комментариях!