Введение
В теории вероятностей понимание типов событий и правил их комбинирования — ключ к решению многих задач. В этой статье разберем, что такое совместные и несовместные события, а также как применять формулу сложения вероятностей для их анализа.
Основные понятия
- Событие — исход или результат эксперимента (например, выпадение конкретного числа на кубике).
- Элементарное событие — простейший исход (например, выпадение «3»).
- Составное событие — комбинация элементарных (например, «выпадение четного числа»).
Несовместные события
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в рамках одного эксперимента.
Примеры:
- Выпадение «орла» и «решки» при одном подбрасывании монеты.
- Выбор карты «туз» и «король» из колоды (если берется одна карта).
Формула сложения для несовместных событий
Вероятность того, что произойдет либо событие A, либо событие B, равна сумме их вероятностей:
Пример:
Вероятность вытащить туза (4/52) или короля (4/52) из колоды:
Совместные события
События совместны, если они могут произойти одновременно.
Примеры:
- Выпадение числа больше 4 и четного числа на кубике (например, 6).
- Выбор червовой карты и дамы из колоды (дама червей — оба условия соблюдаются).
Формула сложения для совместных событий
Чтобы избежать двойного учета пересечения событий AA и BB, используют формулу:
где P(A⋂B) — вероятность одновременного наступления A и B.
Пример:
Вероятность вытащить червовую карту (13/52) или даму (4/52). Дама червей учтена в обоих случаях:
Общая формула сложения вероятностей
Для любых двух событий (совместных или несовместных) верна формула:
Если A и B несовместны, то P(A⋂B)=0, и формула упрощается до P(A)+P(B).
Почему важно различать типы событий?
- Ошибка в расчетах: Применение формулы для несовместных событий к совместным завысит вероятность (например, P(A)+P(B) даст 17/52 вместо верного 16/52 в примере с картами).
- Визуализация: Диаграммы Эйлера-Венна помогают «увидеть» пересечение событий. Для несовместных событий круги не пересекаются, для совместных — имеют общую область.