Физика Дугласа Джанколи. Глава 16-2. Закон Гаусса

Важным соотношением в электричестве является закон Гаусса, разработанный великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855). Этот закон связывает электрический заряд и электрическое поле и представляет собой более общую и элегантную форму закона Кулона.

В отечественной терминологии используется понятие Теоремы Остроградского-Гаусса для электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемой этой поверхностью, делённой на электрическую постоянную.

Это лишь частный случай применения более общей формулировки: поток Ф вектора а сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен объемному (тройному) интегралу от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью. Дивергенцией называется математическая операция, в результате которой из вектора получаем скаляр.

Рисунок 16-43(а) - однородное электрическое поле с напряженностью Е проходит сквозь площадь А.

Закон Гаусса включает понятие электрического потока, которое относится к электрическому полю, проходящему через заданную площадь. Для однородного электрического поля, проходящего через площадь A, как показано на рис. 16–43a, электрический поток обозначается как Φ​:

где тета - угол между направлением (вектора напряженности Е) электрического поля и линией, перпендикулярной к площади А (нормалью). Поток также можно выразить следующим способом:

где Е*cos тета - это компонет вектора напряженности Е, перпендикулярный площади А (т.е. это проекция вектора напряженности Е на нормаль).

Рисунок 16-43 (b). Штриховой линией показана проекция вектора напряженности Е на нормаль к поверхности А.

Рисунок 16-43(с). Штриховой линий показана проекция площади А на поверхность, перпендикулярную линиям напряженности электрического поля (А * cos тета).

Почему косинус угла тета? Суть в том, что при перпендикулярном расположении поток проходит через максимальную площадь, чем больше угол наклона, тем меньшую площадь пронизывает поток. При перпендикулярном расположении cos = 1, если площадь поверхности расположена вдоль - cos = 0, и поток не пронизывает поверхность, и равен нулю.

Электрический поток можно интерпретировать в терминах силовых линий. В разделе 16–8 мы упоминали, что силовые линии всегда можно провести таким образом, чтобы количество линий (N), проходящих через единичную площадку, перпендикулярную полю (A⊥​), было пропорционально величине поля (E). То есть:

E∝N/A⊥​.

N∝EA⊥​=Φ​ (уравнение 16-8).

Следовательно, электрический поток Φ​ связан с количеством силовых линий, проходящих через заданную площадь.

Рисунок 16-44. Линии напряженности электрического поля, проходящие через замкнутую поверхность. Поверхность разделена на множество маленьких площадей ΔA, здесь показаны только две.

Закон Гаусса связан с полным потоком через замкнутую поверхность — поверхность любой формы, которая охватывает некоторый объем пространства. Для любой такой поверхности, как показано на рис. 16–44, мы разделяем поверхность на множество маленьких участков площади, таких как ΔA1​,ΔA2​ и так далее. Мы делаем это разделение таким образом, чтобы каждый участок был достаточно маленьким, чтобы его можно было считать плоским, а электрическое поле на этом участке можно было считать постоянным. Тогда общий поток через всю поверхность равен сумме всех отдельных потоков через каждый из этих маленьких участков площади:

В разделе 16–8 мы видели, что количество силовых линий, начинающихся на положительном заряде или заканчивающихся на отрицательном заряде, пропорционально величине заряда. Следовательно, чистое количество линий N, выходящих из любой замкнутой поверхности (количество линий, выходящих наружу, минус количество линий, входящих внутрь), должно быть пропорционально суммарному заряду, заключённому внутри этой поверхности.

Но из уравнения 16–8 следует, что чистое количество линий N пропорционально полному потоку Φ​. Следовательно,

коэффициент пропорциональности, в соответствии с законом Кулона, 1/ε

где сумма - охватывает любую замкнутую поверхность, Qencl - суммарный заряд, заключенный внутри поверхности. Это закон Гаусса ( формула 16-9)

Закон Кулона и закон Гаусса могут быть использованы для определения электрического поля, создаваемого заданным (статическим) распределением зарядов. Закон Гаусса особенно полезен, когда распределение зарядов является простым и симметричным. Однако мы должны очень тщательно выбирать замкнутую "гауссову" поверхность, чтобы иметь возможность определить E. Обычно выбирается поверхность, обладающая такой симметрией, чтобы E был постоянным на всей её поверхности или на её частях.