История возникновения:
История возникновения комплексных и гиперкомплексных чисел тесно связана с развитием математики в XVII–XIX веках, когда ученые столкнулись с необходимостью решения уравнений, для которых не существовало решений среди обычных (вещественных) чисел. Процесс возникновения комплексных чисел можно отслеживать через проблему решения квадратных уравнений. В Древней Греции, в IV веке до н. э., Пифагор и его последователи считали числами только положительные вещественные числа. В XVII веке, когда математики начали решать уравнения, возникла первая серьезная проблема. В частности, решение квадратного уравнения вида x^2 = -1 требовало наличия чисел, которые не могут быть выражены через вещественные числа. Такие числа не существовали в рамках классической арифметики.
Комплексные числа
Комплексные числа появились из необходимости решения уравнений, которые не имели решений в области действительных чисел. Все началось в 16 веке с решения уравнений второй степени. Например, уравнение:
x^2+1=0
не имело решений среди действительных чисел, поскольку x^2=−1 невозможно при x∈R. Однако, математиков того времени интересовало, что происходит в таких случаях. Изначально подобные выражения трактовались как «невозможные», но вскоре они стали рассматриваться как отдельные объекты.
Впервые мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: 5+√-15 и 5-√-15. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»
В 1637 году, французский математик Рене Декарт начал рассматривать подобные выражении как «неправдоподобные» числа. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты.
Символ i для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень, но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году.
В это время начинается развитие комплексного анализа и понимание того, что комплексные числа могут быть полезны в самых разных областях математики, включая теорию чисел, геометрию и дифференциальные уравнения.
Гиперкомплексные числа
Гиперкомплексные числа — это расширение понятия комплексных чисел. Это включает в себя различные обобщения комплексных чисел, такие как кватернионы, октонионы и другие системы чисел, которые появились в XIX веке.
Один из самых известных шагов в расширении комплексных чисел был сделан ирландским математиком Уильямом Роуэном Хэмилтоном в 1843 году, когда он открыл кватернионы. Кватернионы представляют собой числа, которые включают в себя четыре компонента, обычно записываемые в виде q=a + bi + cj +dk, где a, b, c, и d — вещественные числа, а i, j, и k — три новые единичные мнимые величины, удовлетворяющие определенным правилам умножения, которые существенно отличаются от того, что происходит в обычных комплексных числах. Например, i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1
Этот шаг открыл путь для дальнейших исследований и расширений, таких как октонионы, которые являются еще более сложными гиперкомплексными числами и существуют в восьмеричной алгебраической системе. Они оказались полезными в теории симметрии и физике, но в основном гиперкомплексные числа остаются абстрактными инструментами, используемыми в теоретической математике и физике.
Комплексные и гиперкомплексные числа и их свойства:
Комплексные числа
Геометрическая интерпретация:
Комплексные числа можно представить на комплексной плоскости, где ось абсцисс соответствует действительной части, а ось ординат — мнимой части. Это позволяет интерпретировать комплексные числа как векторы.
Полярная форма:
Полярная форма – это когда комплексное число обозначается длиной (также известной как амплитуда, абсолютная величина или модуль) и углом его вектора (обычно обозначается символом угла, который выглядит следующим образом: ∠).
Комплексное число также может быть представлено в полярной форме как: z=r(cosθ+isinθ).
Комплексные числа как расширение действительных:
Комплексные числа расширяют множество действительных чисел. Например, они позволяют решать уравнения, которые не имеют решений среди действительных чисел, такие как x^2+1=0, где x = i является решением.
Сопряжённое число:
Сопряжённое к комплексному числу z = a + bi обозначается как z и равно a−bi. Сопряжённое число важно для операций деления и вычисления модуля комплексного числа.
Гиперкомплексные числа
Квантерионы:
Кватернионы — это расширение комплексных чисел на четыре измерения. Кватернион имеет вид:
q=a + bi + cj + dk,
где a, b, c, d — вещественные числа, а i, j, k — мнимые единицы, которые удовлетворяют следующим законам умножения:
I^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1,
ij = k, ji = −k
jk = i, kj = −i
ki = j, ik = −j
Кватернионы применяются в 3D-графике, физике и робототехнике для представления вращений в пространстве.
Октонионы:
Октонионы — это восьмеричное расширение кватернионов. Они имеют форму:
O = a + bi + cj + dk + el + fm + gn + hp + iq
где a, b, c, d, e, f, g, h— вещественные числа, а i, j, k, l, m, n, p, q— элементы алгебры октонионов. Октонионы обладают еще более сложными свойствами
и не являются ассоциативными (в отличие от комплексных и кватернионных чисел).
Действия с комплексными и гиперкомплексными числами:
Сложение: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. Чтобы сложить комплексные числа, нужно сложить их действительные и мнимые части. Приведем такой пример: (−3+5i) + (4−8i) = (−3+4) + (5i−8i) = 1−3i
Вычитание: (a+bi) − (c+di) = (a−c) + (b−d)i. Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, нужно заключить вычитаемое в скобки, а потом раскрыть их по всем правилам с изменением знака внутри на противоположный. Пример: (−5+2i) − (3−5i) = −8+7i
Умножение: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. При умножении комплексных чисел пользуются известным правилом умножения многочленов: чтобы перемножить многочлены, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Но в процессе умножения не стоит забывать о второй степени мнимой
единицы (i^2=−1). Приведем пример:
(1−2i)(3+2i)=3−6i+2i−4i^2 = 3 − 6i + 2i + 4 = 7−4i
Деление: Рассмотрим деление комплексных чисел. Найдем частное (7−4i) : (3+2i). Запишем это выражение в виде дроби и расширим ее на сопряженное со знаменателем число 3−2i:
Сопряжённое число: Сопряжённое комплексное число к a+bi записывается как a−bi. Z1=3+2i и z2=3−2i. Такие числа называются сопряженными. Вообще, если дано число z1=a+bi, то число z2=a−bi будет с ним сопряжено, и наоборот. Например, (3+2i) + (3−2i) = 6
Модуль комплексного числа: ∣z∣ = √ a2+b2
Возведение в степень:
Для примера возведем в квадрат число 2 + 3i. Мы можем просто умножить число само на себя по правилу умножения многочленов, а можем применить формулу сокращенного умножения (не забываем, что i2=−1):
Такой способ возведения может не всегда подойти. Давайте представим ситуацию, когда нам нужно возвести в 10 - ую, 20 - ую или 100 - ую степень. В таком случае нам придёт на помощь формула Муавра:
Возведем в тридцатую степень число 1−3–√i. Модуль и аргумент для этого числа мы вычисляли в прошлом подразделе. Применим формулу Муавра:
Извлечение корня:
Пусть требуется извлечь корень n-й степени из какого-либо комплексного числа w. Другими словами, нужно решить уравнение z= n√w. Это уравнение имеет ровно n корней. Для их вычисления применяется такая формула:
В этой формуле k принимает значения от 0 до n − 1, в зависимости от индекса корня. Так, для первого корня k = 0, для второго k = 1 и так далее.
Решение задач по пройденному материалу:
Начнем с простого примера:
Нельзя извлечь корень? В действительных числах здесь действительно не будет решений. В комплексных числах извлечь корень можно. А точнее даже два!
Проведем проверку:
Это был простой пример, а теперь давайте рассмотрим пример посложнее:
Сначала может показаться, что ответ достаточно просто найти, ведь 2^4 = 16 , но что же в таком случае происходит с 4^√-1, ведь i^4 = i^2 * i^2 = 1? Что-то тут не сходится.
Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова, а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности c центром в начале координат. Корни делят эту окружность на n равных частей.
Таким образом x = 4^√-16 будет иметь модуль 2, а все его корни будут располагаться на окружности в комплексной плоскости с одинаковым равноудаленным интервалом. Стоит отметить тот факт, что длина всех отрезков на окружности - это все еще длина радиуса и она также имеет размер 2, разница лишь в том, где в комплексной плоскости расположено число. На комплексной плоскости это будет выглядеть так:
Для того, чтобы аналитически рассчитать значение корня необходимо воспользоваться формулой Муавра:
Формула Муавра для комплексных чисел:
Таким образом, для x = 4^√-16 корни будут находится на 2(cos(π/4)+isin(π/4)), что мы и видели уже на графике.