Условие
Одним из источников дохода государства являются налоговые поступления, объём которых зависит от размера ставки установленного налога. В государстве «Юг» экономисты считают, что такая зависимость объёма налоговых поступлений от налоговой ставки может быть представлена квадратичной функцией
где р - налоговая ставка (в процентах). По их расчётам, при слишком высокой ставке налоги не будут поступать в полном объёме, при слишком низкой ставке государство получит налоги полностью, но могло бы получить больше. Оптимальная ставка налогообложения – ставка, при которой достигается максимальный объём налоговых поступлений.
Оптимальная ставка налогообложения в экономике государства «Юг» составляет 5%, максимальный объём налоговых поступлений 9 млрд, при этом налоговые доходы прекращают поступать в бюджет при ставке 8%. Найдите все возможные значения р, при которых налоги поступают в бюджет государства «Юг».
Источник: пробный экзамен 2025 Армавир
Решение
Функция налоговых поступлений имеет вид:
Это квадратичная функция, график парабола. Из условия задачи следует, что ветви параболы направлены вниз (есть ставка налогообложения, при которой достигается максимальный объём налоговых поступлений, а это возможно, если ветви параболы направлены вниз – в этом случае у квадратичной функции есть наибольшее значение)
Оптимальное значение функции достигается в вершине параболы, т.е.
(5;9) – вершина параболы (5% оптимальная ставка налогообложения, а 9 млрд соответствующее значение налоговых сборов).
Используем формулы для координат вершины параболы
Получаем
Чтобы ответить на вопрос задания, надо найти значения параметров функции налоговых поступлений. Всего три параметра – a, b, c. Значит надо три уравнения. Уже получено два уравнения.
Воспользуемся тем, что налоговые доходы прекращают поступать в бюджет при ставке 8%. Эту информацию можно интерпретировать так, что при р = 8 значение функции налоговых поступлений равно нулю:
Получаем систему уравнений:
Решим ее:
Получили функцию налоговых поступлений:
Построим график полученной функции
График:
На построенном графике хорошо видно, что налоги поступают в бюджет государства «Юг», когда график функции располагается выше оси Ох, т.е. при налоговой ставке р из промежутка (2;8)
Ответ:
(2;8)
Замечание 1
Вместо построения графика функции можно было решить неравенство:
Замечание 2
Понять, при каких значениях аргумента график параболы расположен выше горизонтальной оси координат можно, используя свойства параболы – она симметрична относительно оси, проходящей через вершину параболы
Значит, достаточно найти точку симметричную точке (8;0) относительно р=5. Ясно, что это точка (2;0)
Сразу получаем результат – промежуток (2;8)
В этом случае даже не используем часть условия, что при р = 5% объем налоговых поступлений равен 9 млрд.