Родился 15 марта 1935 года в Москве. В семье армянина Георгия Саркисовича, повара по профессии (работал шеф-поваром в ресторане гостиницы "Метрополь"), и Антонины Андриановны — русской, уроженки Тверской области. Это был третий брак Георгия Саркисовича; у Леонида было два старших брата (от двух предыдущих браков отца) — Михаил, ставший известным скульптором в Одессе, и Рачья (Капланян) — впоследствии народный артист СССР, главный режиссёр Ереванского драматического театра.
Прежде чем посвятить свою жизнь цирку, Енгибаров перепробовал несколько других профессий.
Окончив среднюю школу в 1952 году, он поступил в институт рыбного хозяйства, а через полгода перевёлся в институт физкультуры. Профессионально занимался боксом и к середине 1950-х годов сумел достичь на этом поприще хороших результатов.
В 1955 году в Государственном училище циркового искусства открывается отделение клоунады, и Леонид принимает решение поступить на него. Его принимают. По мнению тех, кто видел Енгибарова в те годы, уже в училище четко определилась его творческая индивидуальность как коверного мастера пантомимы. Окончил училище в 1959 году.
Первая жена — Ада Николаевна Шереметьева (род. 1936), советская актриса театра и кино. Развод.
Вторая жена (брак не оформлен) —Ярмила Галамкова чешская журналистка и художница. Погибла в автокатастрофе.
- Дочь — Барбара Галамкова (род. 1965)
В 1971 году покинул Союзгосцирк и создал эстрадный театр пантомимы и вскоре выпустил в свет спектакль "Звёздный дождь".
24 июля 1972 года Енгибаров вернулся домой после концерта в Зеленом театре из-за ангины которую Енгибаров переносил на ногах, он чувствовал недомогание. Весь следующий день Енгибаров провёл дома; к вечеру 25 июля ему стало ещё хуже, и он скончался от остановки сердца. В свидетельстве о смерти записано: «хроническая болезнь сердца ; матери артиста объяснили, что причиной смерти стал тромб , который образовался от того, что Енгибаров вернулся с гастролей больным и продолжал репетировать с ангиной.
Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.