Каждый год, не обращая внимания на то, в каком классе учится мой будущий ученик, я тестирую уровень знаний с помощью дробей.
Попробуйте сами пройти этот тест, а потом мы вместе ответим на вопрос из заголовка статьи.
Как, получилось у Вас вычислить? Ответы я дам попозже, чтобы Вы сравнили их со своими.
Что я проверяю в первом задании?
Умение умножать дробь на дробь. Наверное, это самое лёгкое задание. Напомню, что число называется обыкновенной дробью, если в его записи используются два других числа, разделённые горизонтальной чертой, причём нижнее не может быть равно нулю. При этом число, записанное над чертой называется числителем дроби, а число, записанное под чертой называется знаменателем дроби. Сама черта обозначают математическую операцию, названную "делением".
Правило умножения двух обыкновенных дробей гласит: чтобы умножить две дроби, нужно: 1) умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и записать результат НАД чертой новой дроби, 2) умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби и записать результат ПОД чертой новой дроби.
Кажется, что это просто. На самом деле не очень.
Когда я спрашиваю у учеников, как они понимают механизм умножения дробей, он не могут ответить на этот вопрос.
Давайте объясню я. Я расскажу о двух механизмах вычислений, а Вы выберете тот, какой Вам больше понравится.
Мы рассмотрим две дроби. Для удобства изложения я возьму их числители и знаменатели небольшими.
Что же происходит на самом деле? Предлагаю перейти к предметному восприятию чисел. Пусть число 1 обозначает торт. Тогда дробь "одна вторая" обозначает его половинку. Можно не говорить "одна вторая", а сказать, например, "одна из двух" (половинок). Тогда число "три вторых" (или "три из двух") обозначает две половинки одного торта и ещё одну половинку второго торта. Всего три ОДИНАКОВЫЕ половинки, взятые от двух тортов.
Замечу, что воспринимать дробь "три вторых" можно и по-другому, если полагать, что горизонтальная черта обозначает математическую операцию "деление". Тогда легко понять, что можно разделить ТРИ торта на две равные части. Каждая часть будет содержать один торт и ещё одну половинку от другого торта.
Что мы делаем с тремя половинками от двух тортов, если "три вторых" умножаем на "пять шестых"?
ВНИМАНИЕ! СЛОЖНО! Нам придётся принять, что "три вторых" - это новый торт, который, как и предыдущий, будет обозначен единицей. Поэтому я разделю каждую из наших розовых половинок так, чтобы у меня получилось ровно шесть ОДИНАКОВЫХ кусочков торта (в знаменателе второй дроби 6). А потом я возьму ровно ПЯТЬ таких новых частей (в числителе второй дроби 5). Замечу, что сначала буду делить, потом умножать.
Как же это сделать? Каждая из трёх половинок может быть разделена пополам, то есть на две равные части. Получится всего 6 одинаковых частей. Именно этого мы и добивались.
А теперь я закрасила розовым цветом те 5 частей, которые нам были нужны.
Что же получилось в конце концов? Торт разделился на 4 равные части, и ответ оказался "пять четвёртых" (или "пять из четырёх одинаковых частей").
Удивительно то, что если согласно правилу умножения двух обыкновенных дробей перемножить числители и знаменатели, то получится число "пятнадцать двенадцатых", то есть единица и "три двенадцатые", которые равны "одной четвёртой". То есть торт разрезали на 12 равных частей, взяли три из них и добавили к целому торту. Получилось то же самое, что и у нас.
А знаете, что на самом деле интересно? То, что в примере рассматриваются части целого. Как это понимать? Нам не интересны были ни размеры торта, ни его форма. Он мог быть круглым, квадратным, любым. Но одно условие мы применяли всегда во всех рассуждениях. Мы делили его на РАВНЫЕ кусочки (возможно, по массе или по объёму, решать Вам).
Что я проверяю во втором задании?
Умение делить дроби. Как это происходит, мне не объяснил ни один из моих учеников в момент тестирования. Но об этом я расскажу в следующей статье.
Для Вас спойлер. Если умножить число на обратное для него число, то получится единица.
Что я проверяю в третьем задании?
Умение складывать дроби с разными знаменателями.
Некоторые мои ученики машинально выполняют сложение таких дробей, но есть и другие, для которых такая операция вызывает затруднение.
Почему? Потому, что они не понимают механизма рассматриваемой операции. Им не понятно, почему при сложении дробей, имеющих разные знаменатели, нельзя взять и просто сложить числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем.
Давайте снова привлечём наш торт, которому мы поставим в соответствие число 1 и попробуем сложить две дроби - "одну вторую" и "одну третью".
У нас есть одна половинка торта и одна треть торта. ОНИ НЕ РАВНЫ. Складывать неравные части нельзя!
Что же делать?
Подсказка из жизни. Как обмениваются товары на рынке? Допустим, сапожник сшил сапоги, а кондитер испёк торт. Можно ли сапоги поменять на торт? "Смотря какие сапоги, смотря какой торт," - скажете Вы. И будете правы. Но как это установить?
Правильно! Мы оценим каждый из товаров, то есть сравним их с неким всеобщим эквивалентом. Одним из таких эквивалентом являются деньги. И если сапожник продаст сапоги, например, за 10000 рублей, а кондитер установит точно такую же цену на торт, то обмен состоится.
Как же сложить разные части торта (то есть дроби с разными знаменателями)?
Ответ прост. Нужно разрезать каждую часть торта на ОДИНАКОВЫЕ КУСОЧКИ. Смотрите: половинку можно разделить на три кусочка, а треть на два кусочка.
Почему эти части равны? Разрежем и незакрашенные части торта так же: половинку на три части, а каждую из двух третьих на де части. И в первом случае, и во втором случае получится ШЕСТЬ РАВНЫХ ЧАСТЕЙ.
Сколько шестых частей стало у левого торта? 3 части.
Сколько шестых частей стало у правого торта? 2 части.
Теперь части одинаковые? Да. Значит, можно их складывать.
Как же мне удалось с первой попытки получить равные части?
Легко. Я увидела, что в знаменателе второй дроби число 3, поэтому половинку я разделила на 3. При этом у меня получилось 3 шестых части.
Я посмотрела, что в знаменателе первой дроби число 2, поэтому третью часть я разделила на 2. При этом у меня получилось 2 шестых части.
Именно поэтому правило сложения дробей с разными знаменателями гласит: "Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно: 1) и числитель, и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, 2) и числитель, и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби, 3) сложить полученные в числителях дробей произведения и записать эту сумму в числителе новой дроби, 4) а в знаменателе новой дроби записать произведение знаменателей двух дробей".
А теперь обещанные ответы к тесту.
1) 0,48
2) 0,8
3) 3,75
4) 11,75
5) - 69,5
6) - 10
Если возникли вопросы, задавайте. Делитесь своим мнением.