Что такое R2R ЦАП? Как он работает? Сравнение с другими видами ЦАП.

Всем привет! Спасибо, что заскочили на мой канал, посвященный аудиотехнике!

Если хотите принять участие в наших сходках аудиофилов или нужна бесплатная помощь в выборе аудиотехники, то можете написать мне: https://t.me/RA_Fayzullin

Чат в телеграм: https://t.me/WeirdMetalistChannel

Канал на ютуб: https://www.youtube.com/@Каналнеадекватногометалиста2.0

Дзен канал: https://dzen.ru/weirdmetalistchannel

Аудиотехника любимых российских мастеров: https://audio-tube.ru

Отдельно отмечаем, что мнение канала может не совпадать с мнением автора статьи. Статья не направлена на то, чтобы кого-то обидеть.

Поехали!

Авторы (источники): habr.ком, hi-audio.ру, samplerateconverter.ком и др.

R2R ЦАПы. Особенности технологии и её преимущества

Для воспроизведения музыки, записанной в цифровом формате, требуется произвести конвертацию цифрового сигнала в аналоговый, ведь цифровой сигнал - это лишь совокупность ноликов и единичек. Для этой задачи используются цифро-аналоговые преобразователи. Благодаря имеющимся возможностям сфера применения данных устройств очень широкая: от аудио систем до систем распознавания или калибровки датчиков. Кроме того, ЦАПы встречаются в цифровых потенциометрах и программируемых радио.

Специфика ЦАПов

Алгоритм функционирования всех цифро-аналоговых преобразователей схож: во время их работы проводится суммирование всех сигналов (как тока, так и напряжения) с учетом коэффициентов (в зависимости от уровня разряда тока он может быть равен нулю или единице).

По виду данных на входе ЦАПы бывают последовательными или параллельными. Кроме того, разные модели разделяются по разрядности. Так, устройства могут быть с повышенной точностью - их показатели разрядности равны или превышают 14, - а также быстродейственными, на 4-8 разрядов.

К распространенным структурам относится ЦАП с матрицей R2R, с применением только двух величин сопротивления, которые находятся в соотношении 2:1. Кроме того, количество резисторов составляет две единицы, а резистивный делитель применяется в двух режимах:

• напряжения (нормальный);
• тока (инверсный).

Многие решаются купить ЦАП R2R, поскольку он выгодно отличается следующими достоинствами:

• выходной импеданс в данном устройстве постоянен;
• в нагрузке отсутствуют ёмкостные токи.

Однако существуют и некоторые особенности. Так, опорный источник в цифро-аналоговых преобразователях R2R может функционировать только при низком импедансе. Кроме того, регулирование усиления не может проводиться с помощью резистора, включенного последовательно вместе с опорным источником. И хотя такое положение допускается в токовом режиме, следует принимать во внимание уровень выбросов в токовой схеме. Но поскольку ключи расположены под потенциалом земли, защиты от больших перепадов напряжения не требуется.

В этой статье мы рассмотрим одну широко известную аналоговую схему, которая полностью составлена из делителей напряжения. Да еще и с фиксированными номиналами напряжений и сопротивлений. Разве это может быть сложным? Еще как!

Схема эта называется R2R ЦАП, и все знают, каков ее принцип работы, но при этом мало кто может ее рассчитать. Вот этим мы и займемся, рассчитаем R2R ЦАП.

Если вы еще не пробовали, то попробуйте рассчитать R2R ЦАП самостоятельно. А уже потом возвращайтесь к этой статье. Вы получите достаточный контекст для ее восприятия.

Сразу скажу, что цель статьи не в том, чтобы продемонстрировать навыки решения систем линейных уравнений. В этой статье мы увидим, как теоретические знания реально помогают легко делать то, что ранее казалось магией.

Сравнение R2R ЦАП vs дельта сигма ЦАП (PCM) vs DSD DAC

R2R DAC (binary weighted resistor digital analog converter), основанный на резисторах, имеет проблемы нелинейности из-за разброса значений их сопротивлений. Потенциально, это также может привести к проблеме слышимых продуктов, порожденных ультразвуком (интермодуляционные искажения).

С другой стороны, R2R PCM ЦАП не содержит сигма-дельта модулятор и не имеет проблем его устойчивости при воздействии перегрузки.

ЦАП схемы. Краткое сравнение

Сравнение типов ЦАП (схемы)

Схема минималистичного R2R ЦАП (часть A изображения выше) содержит резисторную матрицу (ladder). Каждый из резисторов матрицы имеет отклонение от требуемого значения. Это приводит к нелинейности.

Сравнение параметров: резисторный R2R, сигма дельта PCM, DSD ЦАП

Посмотрим на простейший R2R ЦАП:

Простейший R2R ЦАП

Схема содержит пару резисторов (R1, R2) и аналоговый фильтр. Резисторы определяют напряжение в точке A. Когда на входе присутствует логический "0", в точке A присутствует 0V. При наличии на входе "1", напряжение, определяемое R1 и R2, присутствует в точке A.

Также отрицательно значение напряжения может быть использовано в качестве логического "0". Это позволяет избежать постоянного смещения напряжения на аналоговом выходе. Также есть другие пути для устранения этого смещения.

Аналоговый фильтр интерполирует напряжение в точках между временными позициями сэмплов (samples, цифровых отсчетов).

В мультибитном резисторном ЦАП, появляются дополнительные резисторы (1 резистор на 1 бит):

R-2R резисторный PCM ЦАП

Значения резисторов задают уровень напряжения перед аналоговым фильтром.

На картинке выше (часть A) показан простейший R2R резисторный DAC. Аналоговая фильтрация на низких частотах дискретизации (например, 44100, 48000 Гц) является одной из проблем такого ЦАП. Для решения этой проблемы низкая частота дискретизации умножается и фильтруется в цифровом виде перед аналоговой фильтрацией (часть B изображения выше). Читайте подробности ниже. С идеальными резисторами (с нулевыми отклонениями от номинального значения сопротивления) в схеме r2r ЦАП напряжение изменяется линейно при последовательном изменении двоичных кодов на входе (0000[0], 0001[1], 0010[2], 0011[3], и т.д.).

Но, ошибки в значениях сопротивлений резисторов приводят к нелинейности.

Точность резисторного R2R DAC

Если R2R ЦАП имеет N-битовый вход, то ЦАП имеет приблизительный уровень шума на выходе:

NSL = 20 * log10(1/2N-1).

Однако, для 24-bit R2R DAC это ошибки должны сравниваться с уровнем шума квантивания -144...-150 дБ.

В общем случае, R2R DAC более сложен в разработке и настройке, чем ЦАП с сигма-дельта модулятором.

База

Схема мультибитного R2R ЦАПа довольно проста и изображена на рисунке.

6-бит ЦАП. Он состоит из n-каскадов с одинаковыми (внутри касакада) номиналами сопротивлений. Сколько бит - столько и каскадов. К входам вы прикладываете цифровые напряжения (0 или 1), а на выходе получаете одно из аналоговых уровней напряжения

Основная сложность в изготовлении такого ЦАПа на практике заключается в том, что необходимо соблюсти высокую точность всех сопротивлений. Если вы хотите сделать 16-битный ЦАП, то сопротивления должны иметь погрешность в районе, что на несколько порядков меньше 1%.

В этой статье я буду рассчитывать идеальный R2R ЦАП, поэтому и сопротивления я буду использовать идеальные.

1-бит

Однобитный ЦАП прост для понимания. Это делитель напряжения с плечами 2R и 2R.

Почему плечи не R и R, а 2R и 2R? Мы пока не задаемся этим вопросом, а просто пытаемся рассчитать известную схему.

Также мы считаем, что нагрузка, подключенная к этому ЦАПу буферизованная, то есть вообще не потребляет ток, а значит и не перекашивает выходное напряжение. Этого эффекта можно добиться, подключив операционный усилитель по неинвертирующей схеме. Подробней об операционниках было в моей статье об обратных связях. Так что и далее мы будем считать, что никакой ток из ЦАПа не уходит в нагрузку.

2-бит

Подключим к однобитному ЦАПу следущий бит.

Схема усложнилась не очень сильно, а вот вычисление выходного напряжения усложнилось радикально.

Давайте увидим, что это функция от и , которые могут принимать только цифровые значения 0 или 1. Все остальные элементы цепи не меняются. Достаточно каждой комбинации входных напряжений поставить в соответствие выходное напряжение и можно считать, что схема рассчитана.

Звучит, как простой план, однако для каждой комбинации входных напряжений мы имеем уникальную цепь, для которой необходимо вычислить эквивалентные сопротивления, чтобы в итоге вычислить напряжение выхода.

Если проделать это, то в результате будет видно, что значения получаются верные, а схема работает.

Однако, если добавить еще один бит, то количество вариантов удвоится, схема снова будет работать, но понимания, почему так получается, не прибавится. Поэтому я не буду идти по этому пути.

Предлагаю найти способ аналитически выразить выходное напряжение через входные. Для этого у нас есть всеми любимые правила Кирхгофа, которые в мире аналоговой электроники являются лобовым методом решения задачи.

Я переименовал точки схемы 2-бит ЦАПа, так как нам нужно будет обозначать силы тока на участках цепи. Запишем систему уравнений.

6 уравнений и 6 неизвестных. Найдем ее решение. Нас больше всего интересует значение, которое соответствует напряжению выхода.

Кто-то очень внимательный может заменить, что не обязательно записывать настолько большую систему уравнений. Ток всегда равен сумме токов двух ветвей цепи, которые приходят от и. Запишем одно уравнение, из него найдем Vc, а потом через делитель напряжения найдем. В итоге удается обойтись системой из двух уравнений.

Чтож, мы показали, что 2-бит ЦАП работает. Двигаемся дальше.

3-бит

Воспользуемся предыдущим способом и запишем систему уравнений. Ток в участок DO втекает из двух ветвей. Ток в учаток ED втекает из двух других ветвей. Этих двух уравнений достаточно, чтобы найти и . Уравнение для делителя напряжения потребуется, чтобы найти напряжение выхода.

В результате мы получим заветную формулу, которая показывает, что 3-бит ЦАП работает. Но желания двигаться дальше не возникает. Почему?

Потому что известно, что R2R ЦАП работает для любого числа разрядов. А текущий метод позволяет нам найти решение только для текущей битности. Конечно, можно составить систему уравнений в общем виде и найти ее решение.

Но встает другой вопрос. Человек, который разрабатывал R2R ЦАП, сидел и наудачу решал системы уравнений? Или он знал какой-то секрет, который многократно упрощал решение этой задачи.

Секрет

Если вы читали легендарное руководство по схемотехнике Хоровица и Хилла, то вспомните, что изложение там начинается с исследования делителя напряжения.

Дальше авторы переходят к теореме Тевенина. Они зачем-то применяют эту теорему к делителю напряжения. Лично мне после этого примера стало еще менее понятно зачем эта теорема нужна. Разве не существует какого-то более яркого примера схемы, на котором будет "легко видно" преимущество использования этой теоремы?

Я вспомнил о теореме Тевенина, только когда пытался рассчитать R2R ЦАП. Напомню условия теоремы.

Любая схема с двумя терминалами, внутри которой постоянные источники тока, источники напряжения и импедансы, может быть представлена в виде последовательно соединенного источника напряжения Uth и эквивалентного сопротивления Rth.
Uth равно напряжению на выходах схемы без нагрузки.Rth это сопротивление источника напряжения, которое обеспечивает такой же ток, как и в исходной схеме, терминалы которой замкнуты накоротко.

Проще показать на примере.

Начнем с 1-бит ЦАПа. Это тот самый делитель напряжения.

Если к нему не приложена нагрузка, то напряжение выхода

Замкнем терминалы. Проверьте себя, какие у этой схемы терминалы?

Замкнем выход на землю.

Сейчас мы сделали очень большое дело - избавились от делителя напряжения. Мы убрали соединение с общим проводом. Сейчас выход этого ЦАПа связан с напряжением на источнике. Это нам поможет в будущем, когда мы добавим каскад 2-го бита.

Напряжение Vth1 это напряжение выхода делителя напряжения.

Эквивалентное сопротивление находим через сумму токов с обоих источников напряжения

Теперь, когда мы добавим каскад 3-го бита, для нас почти ничего не изменится. Напряжение на выходе равняется середине между и, а эквивалентное сопротивление аналогично будет равняться. Таким образом, мы можем повторять процедуру итеративно, чтобы получить ЦАП необходимой нам битности.

Заключение

Используя теорему Тевенина, мы получили решение задачи без необходимости решать СЛАУ и перебирать варианты входных напряжений.

Но для меня самое важное в этом то, что наличие хорошего примера создает правильный контекст для восприятия инструмента. Применить теорему Тевенина к делителю напряжения, как это сделали Хоровиц и Хилл, можно, но не ясно, какой в этом смысл.

С другой стороны, смысл становится максимально понятен на контрасте. После решения нескольких систем уравнения без какой-то надежды на будущее, для любого станет очевидным мощь данной теоремы.

Если вам хочется закрепить навыки из этой статьи, я предлагаю самостоятельно рассчитать схему, построенную по такому же принципу, но с другими номиналами сопротивлений. Например:

Может, у кого-то получится открыть ЦАП с новыми интересными свойствами. Задача реально сложная, я и сам над ней начал думать.

P.S. R2R-ЦАПы с плюс-минус произвольными размерами резисторов не надо открывать, они и так хорошо известны и широко применяются. Особенно в случаях, когда матрица не одиночная, а сдвоенная.

Это тоже R2R-матрица.

А это то, как в реальности можно попробовать сделать многобитный ЦАП без точности резисторов.