Параллельный перенос осей координат для параболы

# Параллельный перенос осей координат для параболы

Рассмотрим уравнение параболы в исходной системе координат $Oxy$ и покажем, как упростить его вид с помощью параллельного переноса осей координат в новую систему $O'x'y'$.

## 1. Общий случай

Пусть уравнение параболы в исходной системе координат $Oxy$ имеет вид:

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

где $B^2 - 4AC = 0$ (условие, что это парабола).

Параллельный перенос осей координат означает переход от системы $Oxy$ к новой системе $O'x'y'$ с началом в точке $O'(x_0, y_0)$. Связь между координатами точки в старой и новой системах координат задается формулами:

$$x = x' + x_0$$

$$y = y' + y_0$$

Подставляя эти выражения в исходное уравнение параболы, мы получим уравнение в новой системе координат:

$$A(x' + x_0)^2 + B(x' + x_0)(y' + y_0) + C(y' + y_0)^2 + D(x' + x_0) + E(y' + y_0) + F = 0$$

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение вида:

$$Ax'^2 + Bx'y' + Cy'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0$$

Наша цель – выбрать координаты центра переноса $O'(x_0, y_0)$ таким образом, чтобы упростить это уравнение. Обычно стремятся избавиться от членов, содержащих $x'$ и/или $y'$, либо максимально упростить оставшиеся члены.

## 2. Более простой случай: Парабола вида $y = ax^2 + bx + c$

Рассмотрим более простой и распространенный случай, когда уравнение параболы задано в виде:

$$y = ax^2 + bx + c$$

В этом случае параллельный перенос осей координат можно использовать для приведения уравнения к каноническому виду:

$$y' = ax'^2$$

Процесс:

1. **Находим координаты вершины параболы:**

Координаты вершины параболы $V(x_0, y_0)$ можно найти по формулам:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

$$y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c = a \left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b \left(-\frac{b}{2a}\right) + c = -\frac{b^2}{4a} + c$$

2. **Выполняем параллельный перенос:**

Выполним параллельный перенос осей координат в новую систему $O'x'y'$ с началом в вершине параболы $O'(x_0, y_0)$:

$$x = x' + x_0$$

$$y = y' + y_0$$

3. **Подставляем в уравнение параболы:**

Подставим эти выражения в исходное уравнение параболы:

$$y' + y_0 = a(x' + x_0)^2 + b(x' + x_0) + c$$

$$y' + y_0 = a(x'^2 + 2x'x_0 + x_0^2) + bx' + bx_0 + c$$

$$y' = ax'^2 + 2ax'x_0 + ax_0^2 + bx' + bx_0 + c - y_0$$

$$y' = ax'^2 + (2ax_0 + b)x' + (ax_0^2 + bx_0 + c - y_0)$$

4. **Упрощаем уравнение:**

Так как $x_0 = -\frac{b}{2a}$, то $2ax_0 + b = 2a\left(-\frac{b}{2a}\right) + b = -b + b = 0$. Также, по определению, $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$, поэтому последний член равен нулю. Тогда уравнение принимает вид:

$$y' = ax'^2$$

## 3. Пример

Пусть дано уравнение параболы:

$$y = 2x^2 + 8x + 5$$

1. **Находим координаты вершины:**

$$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$$

$$y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$

Вершина параболы: $V(-2, -3)$.

2. **Выполняем параллельный перенос:**

$$x = x' - 2$$

$$y = y' - 3$$

3. **Подставляем в уравнение параболы:**

$$y' - 3 = 2(x' - 2)^2 + 8(x' - 2) + 5$$

$$y' - 3 = 2(x'^2 - 4x' + 4) + 8x' - 16 + 5$$

$$y' - 3 = 2x'^2 - 8x' + 8 + 8x' - 16 + 5$$

$$y' = 2x'^2 - 3 + 8 - 16 + 5$$

$$y' = 2x'^2 - 6$$

4. **Замечаем ошибку в расчетах!** Пересчитаем y0:

$$y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$

Но мы уже сдвинули на $y' = y + 3$. Давайте подставим всё правильно и учтём это:

$$ y' - 3 = 2 (x' - 2)^2 + 8(x' - 2) + 5 $$

$$ y' = 2(x'^2 - 4x' + 4) + 8x' - 16 + 5 + 3$$

$$ y' = 2x'^2 - 8x' + 8 + 8x' - 16 + 8$$

$$ y' = 2x'^2 $$

Таким образом, в новой системе координат $O'x'y'$ с началом в точке $O'(-2, -3)$, уравнение параболы имеет вид:

$$y' = 2x'^2$$

## 4. Заключение

Параллельный перенос осей координат – это мощный метод упрощения уравнений кривых, в частности, парабол. Выбор координат центра переноса позволяет избавиться от линейных членов и привести уравнение к каноническому виду. В случае параболы $y = ax^2 + bx + c$, перенос в вершину параболы приводит к уравнению $y' = ax'^2$.