Иногда нас интересует только приблизительное значение величины. Это может быть связано с тем, что точный расчет занял бы больше времени, чем того стоит, или потребовал бы дополнительных данных, которые недоступны. В других случаях мы можем захотеть сделать грубую оценку, чтобы проверить расчет, выполненный на калькуляторе, и убедиться, что при вводе чисел не было допущено ошибок. Грубую оценку можно выполнить, округляя все числа до одной значащей цифры и степени 10, а после выполнения расчетов снова сохранить только одну значащую цифру. Такая оценка называется оценкой порядка величины и может быть точной в пределах десятикратного фактора, а часто и лучше. На самом деле, фраза «порядок величины» иногда используется просто для обозначения степени 10.
Пример 1-6. Рассчитайте приблизительно объем озера. Оцените (приблизительно), сколько воды в конкретном озере на рисунке 1-10а, зеркало которого приблизительно представляет собой круг, 1 км в диаметре, и средняя глубина равна 10 метров.
Подход: не существует озер с зеркалом в виде абсолютно правильного круга, как и не существует озер с абсолютно плоским дном. Так что здесь мы проводим качественную оценку объема воды. Для этого можно принять объем воды как объем цилиндра: умножим среднюю глубину озера на площадь поверхности (рисунок 1-10б).
Решение: объем V цилиндра можно рассчитать как произведение его высоты на площадь основания: V = h*pi*r, где r - радиус площади основания. Радиус равен половине диаметра, т.е. 500 м.
Пример 1-7. Рассчитайте приблизительно толщину листа бумаги.
Подход: на первый взгляд для этого нужен специальное средство измерения - микрометр, поскольку обычная линейка не обладает такой точностью. Но можно воспользоваться хитростью, или в терминах физики - симметрией: мы можем сделать вполне допустимое предположение, что все страницы книги (или пачки бумаги) имеют одинаковую толщину.
Решение: Можно использовать линейку для измерения толщины сотен страниц. Если измерить толщину первых 500 страниц книги, получите результат примерно 1.5 см. Обратите внимание, что 500 нумерованных страниц - это 250 листов. И одна страница имеет среднюю толщину приблизительно:
Примечание: симметрия в физике - это не то же самое, что симметрия в геометрии.
Пример 1-8. Рассчитайте приблизительно высоту с помощью триангуляции.
Оцените высоту здания на рисунке 1-12 с помощью триангуляции, с помощью столба автобусной остановки и друга.
Подход: когда ваш друг стоит рядом со столбом, вы приблизительно оцениваете высоту столба, равную 3 метрам. Затем вы отступаете назад, пока верх столба не станет в одну линию с вершиной здания (рисунок 1-12а). Ваш рост 5 футов 6 дюймов и ваши глаза примерно в 1.5 метрах над землей. Ваш друг выше, и поэтому когда он вытягивает руки и одной рукой касается вас, а другой столба, расстояние между вами и столбом будет 2 метра. Затем вы отшагиваете широкими 1-метровыми шагами расстояние от столба до здания и оно равно 16 шагам, или примерно 16 метрам.
Решение: теперь нарисуйте в масштабе схему, используя результаты своих измерений. Если выполнить измерения линейкой прямо на схеме, то оставшаяся длина стороны треугольника (высота здания) будет равна 13 метрам. Можно использовать подобные треугольники для расчёта значения х:
Другой подход по приблизительной оценке был сделан Энрико Ферми (1901-1954), был в том, чтобы задать студентам задачку по оценке количества настройщиков пианино в Сан-Франциско или Чикаго. Чтобы приблизительно посчитать количество настройщиков в городе с населением 800 тысяч человек, можно начать с количества работающих пианино, как часто настраивается пианино, и как много инструментов может настроить каждый настройщик. Чтобы примерно посчитать количество инструментов, мы понимаем, что не у абсолютно каждого есть своё пианино. Если на 1 семью из трех будет пианино, то инструмент будет 1 на 12 человек, при условии что в семье 4 человека. Для оценки порядка величины, округлим и скажем, что есть 1 пианино на 10 человек. Это гораздо вероятнее, чем 1 на 100 человек или 1 на 1 человека, поэтому продолжим, допуская, что на 10 человек имеется 1 пианино и всего в городе 80000 пианино. Одно пианино требует 1 или 2 часа на настройку. Допустим, что настройщик может настроить 4 или 5 инструментов. Пианино надо настраивать раз в год. Настройщик, настраивая по 4 пианино в день, 5 дней в неделю, 50 недель в год, может настроить примерно 1000 инструментов в год. И Сан-Франциско, с примерно 80000 пианино, нуждается в 80 настройщиках. Это очень грубая и приблизительная оценка. Она говорит нам, что должно быть намного больше, чем 10 настройщиков, но точно меньше 1000.
Пример 1-9. Приблизительный расчёт радиуса Земли. Верите вы или нет, можно измерить радиус Земли без полета в космос. Если вы когда-либо были на берегу большого озера, вы наверняка замечали, что не видите пляжа, пирса, скал на противоположном берегу. Кажется, что озеро словно выпячивается наверх между вами и противоположным берегом - это ключ к пониманию, что земля круглая. Представьте, что вы поднимаетесь по лестнице вверх и понимаете, что когда ваши глаза на высоте 3 метров над уровнем озера, вы видите противоположный берег. По карте вы примерно оцениваете расстояние до противоположного берега d = 6.1 км. На рисунке 1-14 высота h=3.0 м.
Подход: применим теорему Пифагора:
Решение: для прямоугольного треугольника на рисунке 1-14, две стороны - это радиус Земли R, и расстояние d = 6.1 км. Гипотенуза - это расстояние, равное приблизительно R+h, где h = 3 метрам. По теореме Пифагора: