Электрическая потенциальная энергия
Чтобы применить закон сохранения энергии, нам нужно определить электрическую потенциальную энергию так же, как мы это делали для других типов потенциальной энергии. Как мы видели в Главе 6, потенциальная энергия может быть определена только для консервативной силы. Работа, совершаемая консервативной силой при перемещении объекта между любыми двумя положениями, не зависит от выбранного пути. Электростатическая сила, действующая между двумя зарядами (Уравнение 16–1):
является консервативной, поскольку её зависимость от положения аналогична гравитационной силе, которая также является консервативной. Следовательно, мы можем определить потенциальную энергию PE для электростатической силы.
Мы видели в Главе 6, что изменение потенциальной энергии между любыми двумя точками a и b равно отрицательному значению работы, совершённой консервативной силой над объектом при его перемещении из точки a в точку b:
когда точечный заряд q перемещается из точки a в другую точку b, как отрицательное значение работы, совершённой электрической силой над зарядом при его перемещении из точки a в точку b.
Например, рассмотрим электрическое поле между двумя одинаковыми, но противоположно заряженными параллельными пластинами; предположим, что расстояние между ними мало по сравнению с их шириной и высотой, так что поле будет однородным в большей части области (см. Рис. 17–1).
Теперь рассмотрим крошечный положительный точечный заряд q, помещённый в точку "а", очень близко к положительной пластине, как показано. Этот заряд Этот заряд q настолько мал, что он не оказывает влияния на поле. Если этот заряд q в точке a освободить, электрическая сила совершит работу над зарядом и ускорит его в направлении отрицательной пластины. Работа W, совершённая электрическим полем E для перемещения заряда на расстояние d, равна (используя уравнение F = q * E):
Изменение электрической потенциальной энергии равно отрицательному значению работы, совершённой электрической силой:
Примечание: почему уравнение 17-1 со знаком минус? Потому что электрическое поле совершило работу, переместило заряд. Но при этом потенциальная энергия точечного заряда уменьшилась (В точке b она меньше. чем в точке а).
В проиллюстрированном случае потенциальная энергия уменьшается (ΔPE отрицательна); и когда заряженная частица ускоряется от точки a до точки b на Рис. 17–1, её кинетическая энергия KE увеличивается на равную величину. В соответствии с законом сохранения энергии электрическая потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию, и общая энергия сохраняется. Обратите внимание, что положительный заряд q имеет наибольшую потенциальную энергию в точке a, близкой к положительной пластине. Для отрицательного заряда всё наоборот: его потенциальная энергия максимальна вблизи отрицательной пластины.
Почему ближе к положительной пластине положительный заряд имеет бОльшую потенциальную энергию? Потому что когда он близко, на него действует и сила отталкивания от положительной пластины, и сила притяжения отрицательной пластины - есть сила, способная его переместить. Переместившись, он уменьшит свою потенциальную энергию, в обратную сторону поле его уже не переместит (то есть не оттолкнет от отрицательной пластины и не притянет в сторону положительной).
Электрический потенциал и разность потенциалов
В главе 16 мы сочли полезным определить электрическое поле как силу, действующую на единицу заряда. Аналогично, полезно определить электрический потенциал (или просто потенциал, если ясно, что речь идет об "электрическом") как электрическую потенциальную энергию на единицу заряда. Электрический потенциал обозначается символом V. Если положительный пробный заряд q, находящийся в электрическом поле, обладает электрической потенциальной энергией Ua (при условии, что потенциальная энергия равна нулю на бесконечности), то электрический потенциал в некоторой точке a (относительно точки с нулевой потенциальной энергией) равен:
Как мы обсуждали в главе 6, физический смысл имеют только разности потенциальной энергии. Следовательно, измеримой является только разность потенциалов или напряжение между двумя точками a и b (такими, как показано на рис. 17–1).
Когда электрическая сила совершает положительную работу над зарядом, его кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается. Разность потенциальных энергий Ub−Ua равна отрицательной величине работы Wba, совершаемой электрическим полем при перемещении заряда из точки a в точку b. Таким образом, разность потенциалов Vba равна:
Обратите внимание, что электрический потенциал, как и электрическое поле, не зависит от пробного заряда q. Потенциал V определяется другими зарядами, создающими поле, а не пробным зарядом q. Пробный заряд q приобретает потенциальную энергию, находясь в потенциале V, создаваемом другими зарядами.
Из нашего определения видно, что положительная пластина на рис. 17–1 находится под более высоким потенциалом, чем отрицательная пластина. Следовательно, положительно заряженный объект естественным образом движется от высокого потенциала к низкому. Отрицательный заряд, напротив, движется от низкого потенциала к высокому.
Единица измерения электрического потенциала и разности потенциалов — это джоуль/кулон, и она получила специальное название "вольт" (в честь Алессандро Вольта (1745–1827), который наиболее известен изобретением электрической батареи). Вольт обозначается символом V, так что:
1 Вольт = 1 Джоуль / 1 Кулон, или 1 В = 1 Дж/ 1 Кл.
Разность потенциалов, измеряемая в вольтах, часто называется напряжением. (Будьте внимательны, чтобы не путать V для вольт с курсивным V для напряжения.)
Если мы хотим говорить о потенциале Va в некоторой точке a, мы должны помнить, что он зависит от того, где выбран нулевой уровень потенциала. Нулевой уровень электрического потенциала в данной ситуации может быть выбран произвольно, так же как и для потенциальной энергии, поскольку измерять можно только разности потенциальной энергии. Часто за нулевой уровень принимают землю или проводник, соединенный с землей (Землю). В этом случае другие потенциалы задаются относительно земли. (Таким образом, точка, где напряжение равно 50 В, — это точка, разность потенциалов между которой и землей составляет 50 В.) В других случаях, как мы увидим позже, нулевой потенциал может быть выбран на бесконечном расстоянии.
Примечание: с точки зрения электроники если говорить о разности потенциалов (напряжении) в какой-то точке, то её берут относительно общей точки (COM, GND). Но это не означает, что в любой схеме напряжение измеряется относительно заземляющего провода (заземляющей шины). Иногда это может быть "минусовая" клемма батареи или источника напряжения.
Пример на понимание. 17-1. Отрицательный заряд. Предположим, что отрицательный заряд, такой как электрон, помещен вблизи отрицательной пластины на рис. 17–1, в точке b, показанной здесь на рис. 17–2. Если электрон может свободно двигаться, будет ли его электрическая потенциальная энергия увеличиваться или уменьшаться? Как изменится электрический потенциал?
ОТВЕТ: Электрон, освобожденный в точке b, будет притягиваться к положительной пластине. По мере того как электрон ускоряется в направлении положительной пластины, его кинетическая энергия увеличивается, а значит, его потенциальная энергия уменьшается:
Однако обратите внимание, что электрон движется из точки b с низким потенциалом в точку a с более высоким потенциалом:
(Потенциалы Va и Vb обусловлены зарядами на пластинах, а не самим электроном.) Знаки изменения потенциальной энергии (ΔU) и изменения потенциала (ΔV) противоположны из-за отрицательного заряда электрона.
ПРИМЕЧАНИЕ: Положительный заряд, помещенный рядом с отрицательной пластиной в точке b, остался бы там, не испытывая ускорения. Положительный заряд стремится двигаться из области высокого потенциала в область низкого потенциала.
-------------------------------------------------------------------------------
Поскольку разность электрических потенциалов определяется как разность потенциальной энергии на единицу заряда, изменение потенциальной энергии заряда q при его перемещении из точки a в точку b равно:
То есть, если объект с зарядом q проходит через разность потенциалов Vba, его потенциальная энергия изменится на величину q*Vba.
Например, если разность потенциалов между двумя пластинами на рис. 17–1 составляет 6 В, то заряд +1 Кл, перемещенный из точки b в точку a, приобретет:
1 Кл х 6 В = 6 Дж
электрической потенциальной энергии. (И он потеряет 6 Дж потенциальной энергии, если будет двигаться из точки a в точку b.). Аналогично, заряд +2 Кл приобретет:
ΔU=(2 Кл) х (6 В)=12 Дж,
и так далее. Таким образом, разность электрических потенциалов является мерой того, сколько энергии может приобрести электрический заряд в данной ситуации. А поскольку энергия — это способность совершать работу, разность электрических потенциалов также является мерой того, сколько работы может совершить данный заряд. Точное количество энергии или работы зависит как от разности потенциалов, так и от величины заряда.
Чтобы лучше понять электрический потенциал, проведем аналогию с гравитацией, когда камень падает с вершины скалы. Чем больше высота h скалы, тем больше потенциальная энергия (mgh) у камня на вершине относительно основания, и тем больше кинетической энергии он будет иметь, достигнув земли. Фактическое количество кинетической энергии, которую он приобретет, а также количество работы, которое он сможет совершить, зависит как от высоты скалы, так и от массы m камня. Большой камень и маленький камень могут находиться на одной и той же высоте h (Рис. 17–3a), и, следовательно, иметь одинаковый "гравитационный потенциал", но больший камень обладает большей потенциальной энергией (он имеет большую массу). Электрический случай аналогичен (Рис. 17–3b): изменение потенциальной энергии или работа, которая может быть совершена, зависят как от разности потенциалов (соответствующей высоте скалы), так и от заряда (соответствующего массе), согласно уравнению 17–3. Однако стоит отметить важное различие: электрический заряд существует в двух типах, + и −, тогда как гравитационная масса всегда положительна.
Источники электрической энергии, такие как батареи и электрогенераторы, предназначены для поддержания разности потенциалов. Фактическое количество преобразованной энергии таким устройством зависит от того, сколько заряда протекает через него, а также от разности потенциалов (уравнение 17–3). Например, рассмотрим фару автомобиля, подключенную к аккумулятору напряжением 12,0 В. Количество преобразованной энергии (в световую и тепловую) пропорционально количеству протекшего заряда, которое, в свою очередь, зависит от того, как долго фара включена. Если за определенный период времени через фару протекает заряд 5,0 Кл, то общее количество преобразованной энергии составит: 5 Кл х 12 В = 60 Дж.
Если фара останется включенной в течение двойного времени, протечет заряд 10,0 Кл, и количество преобразованной энергии составит: 10 Кл х 12 В = 120 Дж.
Пример 17-2. Электрон в кинескопе телевизора. Предположим, что электрон ускоряется из состояния покоя через разность потенциалов Vb−Va=Vba=±5000В (рис. 17–4).
(a) Каково изменение электрической потенциальной энергии электрона?
(b) Чему равна кинетическая энергия электрона?
(c) скорость электрона в результате этого ускорения?
ПОДХОД. Электрон, ускоряемый в направлении положительной пластины, изменит свою потенциальную энергию на величину ΔU=q*Vba (уравнение 17–3). Потеря потенциальной энергии будет равна приобретению кинетической энергии (закон сохранения энергии).
РЕШЕНИЕ
(a) Заряд электрона равен
Следовательно, изменение его потенциальной энергии равно:
Знак минус указывает на то, что потенциальная энергия уменьшается. Разность потенциалов Vba имеет положительный знак, потому что конечный потенциал Vb выше начального Va. Отрицательные электроны притягиваются к положительному электроду (или пластине) и отталкиваются от отрицательного электрода.
(b) Потенциальная энергия, потерянная электроном, переходит в кинетическую энергию (KE). Из закона сохранения энергии (уравнение 6–11а):
Начальная кинетическая энергия равна нулю, так как электрон начинает движение из состояния покоя. Таким образом, конечная кинетическая энергия равна:
(c) Воспользуемся формулой для кинетической энергии, чтобы найти скорость электрона:
где масса электрона m = 9.1⋅10^−31 кг. Подставляем значения:
ПРИМЕЧАНИЕ
Электрическая потенциальная энергия зависит только от заряда и напряжения, но не от массы. Скорость же зависит от массы.