Свои первые шаги в профессиональном футболе Теймурян сделал в клубе «Огаб», который выступал в Лиге Азадеган – высшем футбольном дивизионе Ирана. Затем его путь продолжился в клубе «Абумослем», где в сезоне 2005 - 2006 он провел 26 матчей, продемонстрировав свои исключительные качества и забив один яркий гол.
В конце августа 2006 года Теймурян подписал долгожданный двухлетний контракт с английским клубом Премьер-лиги «Болтон Уондерерс». В новой команде он сразу же проявил свои способности и забил свой первый великолепный гол в третьем раунде Кубка Англии, в котором «Болтон» одержал блестящую победу над «Донкастер Роверс» со счетом 4:0. Вскоре его выступления в Премьер-лиге и особенно яркие выходы на замену сделали его настоящим кумиром болельщиков на стадионе «Рибок». Два его первых гола в Премьер-лиге принесли Теймуряну титул игрока матча в захватывающем противостоянии с «Уиган Атлетик». В мае 2008 года, не продлевая контракт с «Болтоном», он решает сделать следующий шаг и переходит в «Фулхэм». Летом 2008 года Андраник подписывает двухлетнее соглашение с «Фулхэмом», однако, два года спустя контракт был расторгнут.
Андраник Теймурян не только блеснул на клубном уровне, но и стал выдающимся игроком в национальной сборной Ирана. Он выступал за сборные разных возрастных категорий и, безусловно, стал неотъемлемой частью главной команды страны. В 2006 году он поехал на чемпионат мира, где его страстная игра и невероятная самоотдача не остались незамеченными. Теймурян был признан одним из лучших игроков сборной, а в родном Иране его встретили как настоящего национального героя. Он также принимал участие в Кубке Азии 2007 года и отборочных матчах чемпионата мира 2010 года.
Нельзя не отметить, что Теймурян пользовался большой любовью и уважением товарищей по сборной, в 2011 году он стал капитаном сборной Ирана и вплоть до 2016 года возглавлял команду. Всего в составе сборной Ирана Андраник Теймурян отыграл 101 матч и забил 9 голов.
С 2023 года Андраник Теймурян занимает должность помощника главного тренера сборной Ирана по футболу.