Качественные измерения — важная часть физики. Однако ни одно измерение не является абсолютно точным. Каждое измерение имеет свою погрешность.
Среди важнейших источников погрешности измерений (помимо грубых ошибок) — ограниченная точность любого измерительного прибора и невозможность снять показания точнее, чем с некоторой долей наименьшего деления шкалы. Например, если вы используете линейку с сантиметровыми делениями для измерения ширины доски (рис. 1–5), результат можно считать точным примерно до 0,1 см (1 мм) — наименьшего деления на линейке, хотя в некоторых случаях допустима оценка и с половиной этого значения. Причина в том, что наблюдателю сложно оценить (или «интерполировать») значения между наименьшими делениями. Кроме того, сама линейка могла быть изготовлена с погрешностью, сравнимой с этим значением.
При записи результата измерения важно указать погрешность. Например, ширина доски может быть записана как 8,8 ± 0,1 см . Значение ±0,1 см («плюс-минус 0,1 см») отражает абсолютную погрешность, поэтому фактическая ширина, скорее всего, лежит в диапазоне от 8,7 до 8,9 см. Относительная погрешность рассчитывается как отношение погрешности к измеренному значению, умноженное на 100. Например, если измеренное значение равно 8,8 см, а погрешность — 0,1 см, относительная погрешность составит:
На следующем рисунке фотографии штангенциркуля и микрометра, позволяющие измерять длину (средства измерения длины) с гораздо меньшей погрешностью.
Часто погрешность измеренного значения не указывается явно. В таких случаях предполагается, что погрешность числового значения составляет одна или несколько единиц в последнем указанном разряде. Например, если длина указана как 8,8 см, погрешность принимается равной примерно 0,1 см или 0,2 см. Важно в этом случае не записывать 8,80 см, так как это подразумевает погрешность порядка 0,01 см: предполагается, что длина находится в диапазоне от 8,79 см до 8,81 см, тогда как на самом деле вы считаете, что она лежит между 8,7 см и 8,9 см.
ПРИМЕР НА ПОНИМАНИЕ 1-1: — Это ваш бриллиант? Друг просит одолжить ваш драгоценный бриллиант на день, чтобы показать семье. Вы немного беспокоитесь, поэтому тщательно взвешиваете его на весах, которые показывают 8,17 грамма . Точность весов, как утверждается, составляет ±0,05 грамма .
На следующий день вы снова взвешиваете возвращённый бриллиант и получаете 8,09 грамма . Это ваш камень?
Ответ : Показания весов — это измерения, а они не идеальны. Они не обязательно отражают «истинное» значение массы. Каждое измерение могло быть завышено или занижено на 0,05 грамма или около того. Фактическая масса вашего бриллианта, скорее всего, находится между 8,12 и 8,22 граммами . Фактическая масса возвращённого бриллианта, вероятно, лежит между 8,04 и 8,14 граммами . Эти два диапазона перекрываются, поэтому данные не дают серьёзных оснований сомневаться, что возвращённый бриллиант — ваш.
ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ (SIGNIFICANT FIGURES) .
Количество надёжно известных цифр в числе называется числом значащих цифр . Например, в числе 23,21 см четыре значащие цифры, а в числе 0,062 см — две (нули здесь лишь указывают положение десятичной запятой). Количество значащих цифр не всегда очевидно. Возьмём, к примеру, число 80 . Сколько в нём значащих цифр: одна или две? Здесь нужны уточняющие слова. Если мы говорим, что расстояние между двумя городами примерно 80 км , то значащая цифра одна (8), так как ноль служит лишь указателем позиции. Если нет указаний на то, что 80 — грубая оценка, то обычно предполагается (как мы будем делать в этой книге), что расстояние известно с точностью до 1–2 км , и тогда в числе 80 две значащие цифры. Если же расстояние точно равно 80 км с точностью до ±0,1 км , мы записываем его как 80,0 км (три значащие цифры).
При выполнении измерений или вычислений следует избегать соблазна оставлять в итоговом ответе больше цифр, чем это обосновано. Например, при вычислении площади прямоугольника размером 11,3 см × 6,8 см результат умножения будет равен 76,84 см² . Однако этот ответ не может претендовать на точность до 0,01 см² , поскольку (используя предельные значения предполагаемой погрешности для каждого измерения длины стороны прямоугольника) результат может колебаться между 11,2 см × 6,7 см = 75,04 см² и 11,4 см × 6,9 см = 78,66 см² . В лучшем случае мы можем указать ответ как 77 см² , что подразумевает погрешность около 1 или 2 см² . Остальные две цифры (в числе 76,84 см² ) должны быть отброшены (округлены), так как они не являются значимыми.
В качестве грубого общего правила можно сформулировать:
Итоговый результат умножения или деления не должен содержать больше цифр, чем числовое значение с наименьшим количеством значащих цифр.
В нашем примере значение 6,8 см имеет наименьшее количество значащих цифр (две). Поэтому результат 76,84 см² необходимо округлить до 77 см² .
Примечание. Вышеуказанный пример не означает, что любые математические вычисления необходимо округлять до числового значения с наименьшим количеством значащих цифр. В данном случае речь идет именно об измерениях и оценке их результатов. В качестве еще одного примера можно привести привести умножение цены в 1 рубль 99 копеек на 1,99 грамм. В результате итоговая сумма математически равна 1,99 руб/грамм Х 1,99 грамм = 3,9601 рублей. Но практически это не имеет смысла, т.к. суммы ниже 0,01 рублей (1 копейка) быть не может. Поэтому можно округлить до 3,96 рублей.
УПРАЖНЕНИЕ A
Площадь прямоугольника размером 4,5 см × 3,25 см правильно указана в варианте:
(a) 14,625 см² ;
(b) 14,63 см² ;
(c) 14,63 см² ;
(d) 14,6 см² ;
(e) 15 см² .
При сложении или вычитании чисел итоговый результат не должен содержать больше десятичных знаков, чем число с наименьшим их количеством. Например, результат вычитания 0,57 из 3,6 равен 3,0 (а не 3,03 ). Аналогично, 36 + 8,2 = 44 (а не 44,2 ).
Важно не путать значащие цифры с количеством десятичных знаков.
- В примере 3,6 − 0,57 : 3,6 имеет один десятичный знак, 0,57 — два.
Результат округляется до одного десятичного знака: 3,0 . - В примере 36 + 8,2 : 36 не имеет десятичных знаков, 8,2 — один.
Результат округляется до целого числа: 44 .
Это правило гарантирует, что точность результата соответствует наименее точному из исходных значений.
Помните: при использовании калькулятора не все выводимые им цифры могут быть значащими. Например, при делении 2,0 на 3,0 правильный ответ — 0,67 , а не 0,666666666 , который показывает калькулятор (см. рис. 1–6а). Цифры не должны указываться в результате, если они не являются значащими . Однако для повышения точности сохраняйте одну или несколько дополнительных значащих цифр в процессе вычислений, округляя только итоговый результат. (С калькулятором можно сохранять все его цифры в промежуточных результатах.)
Обратите внимание, что калькуляторы иногда выдают недостаточно значащих цифр . Например, при умножении 2,5×3,2 калькулятор может показать просто 8. Однако ответ должен быть указан с двумя значащими цифрами , поэтому правильный результат — 8,0 (см. рис. 1–6b).
ПРИМЕР НА ПОНИМАНИЕ 1-2: Значащие цифры. С помощью транспортира (рис. 1–7) вы измерили угол, равный 30° .
(a) Сколько значащих цифр следует указать в этом измерении?
(b) Используйте калькулятор, чтобы найти косинус измеренного угла.
Ответ:
(a) Если посмотреть на транспортир, видно, что угол можно измерить с точностью до 1 градуса (точно не до 0,1°). Поэтому вы можете указать две значащие цифры : 30° (а не 30,0°).
(b) Если ввести cos 30° в калькулятор, результат будет примерно 0,866025403 . Однако измеренный угол известен лишь с точностью до двух значащих цифр, поэтому косинус правильно записывается как 0,87 — ответ необходимо округлить до двух значащих цифр.
Пояснение:
- (a) Даже если значение 30° выглядит как одна значащая цифра, измерение подразумевает погрешность ±1°, что позволяет считать обе цифры (3 и 0) значимыми.
- (b) Калькулятор выдает больше цифр, чем оправдано точностью исходных данных. Округление до 0,87 отражает реальную погрешность измерения.
Экспоненциальное представление чисел (scientific notation).
Мы обычно записываем числа в виде «степеней десяти» или в экспоненциальном формате . Например, число 36 900 можно представить как
3,69×10⁴ ,а число 0,0021 — как 2,1×10 в степени -3.
Одно из преимуществ экспоненциального формата (подробнее в приложении A) заключается в том, что он позволяет однозначно определить количество значащих цифр . Например, неясно, сколько значащих цифр в числе 36 900 : три, четыре или пять. Используя степени десяти, можно избежать этой неоднозначности:
- Если число известно с тремя значащими цифрами , записываем его как 3,69 × 10⁴ .
- Если число известно с четырьмя значащими цифрами , записываем его как 3,690 × 10⁴ .
Таким образом, экспоненциальный формат устраняет двусмысленность и точно отражает точность измерений или вычислений.
Относительная погрешность или значимые цифры?
Правило значимых цифр только приблизительное, и в каких-то случаях оно может недооценить точность (или же погрешность) в ответе. Например, мы делим 97 на 92: 97/92 = 1.05 или приблизительно 1,1. И 97, и 92 - оба имеют две значащие цифры, и правило гласит, что ответ должен быть 1,1. И при этом у чисел 97 и 92 (будь это результаты измерения физических величин) погрешность равна ±1, если при этом не определены какие-то другие погрешности. И число 97 ± 1, и число 92 ± 1, имеют относительную погрешность около 1% (1/92 примерно равно 0,01 = 1%). Но конечный результат, округленный до 2 значащих цифр, равен 1.1, т.е. погрешность составляет ±0,1, что говорит о погрешности в 10% (0.1/1.1 равно примерно 0.1 или 10%). В таком случае лучше дать ответ 1.05 (что дает уже 3 значащие цифры). Почему? Потому что результат 1.05 говорит об абсолютной погрешности ±0.01, что дает относительную погрешность измерения 0.01/1.05 ≈ 1%, как и для исходных данных 92 и 97.
Предложение: используйте правило значащих цифр, но также учитывайте погрешность измерений, и добавляйте еще одну цифру, если это дает более правильный результат измерений с учётом оценки погрешности измерений.
Приближения (допущения) в физике
Многие задачи в физике решаются с помощью приближений (допущений), часто из-за невозможности точно описать явление. Например, мы можем игнорировать сопротивление воздуха или трение при решении задачи, даже если эти факторы присутствуют в реальности. В таких случаях наши расчёты дают лишь приближённый результат.
Важно:
- Осознавать, какие упрощения были сделаны при решении задачи.
- Помнить, что точность полученного ответа может быть гораздо ниже, чем количество значащих цифр, указанных в результате.
Например, если мы пренебрегаем трением в задаче о движении тела, реальный результат может отличаться от расчётного. Это не ошибка, а следствие принятых допущений. Поэтому всегда критически оценивайте, насколько модель соответствует реальности, и не абсолютизируйте точность вычислений.
Прецизионность (Precision) vs. Точность (Accuracy)
Существует техническое различие между точностью и прецизионностью .
- Прецизионность в строгом смысле означает повторяемость измерений при использовании одного и того же инструмента. Например, если вы многократно измеряете ширину доски, получая результаты вроде 8,81 см , 8,85 см , 8,78 см , 8,82 см (интерполируя между отметками 0,1 см как можно точнее), можно сказать, что измерения имеют прецизионность чуть лучше 0,1 см .
- Точность отражает близость измерения к истинному значению . Например, если линейка на рис. 1–5 была изготовлена с погрешностью 2% , то её точность при измерении ширины доски (около 8,8 см ) составит 2% от 8,8 см , то есть примерно ±0,2 см .
Погрешность учитывает оба этих аспекта: и прецизионность (повторяемость), и точность (близость к истине).
Пример:
- Прецизионность — это когда ваши измерения ширины доски дают близкие результаты (например, 8,81; 8,82; 8,79 см).
- Точность — это когда среднее значение этих измерений близко к реальной ширине доски (например, если истинное значение 8,8 см, а не 9,0 см).
Важно:
- Даже очень точные измерения могут быть неправильными , если инструмент имеет систематическую ошибку (например, линейка с неверной шкалой).
- Оцененная погрешность должна отражать как статистический разброс данных (прецизионность), так и возможные систематические ошибки (точность).
Немного наглядности на графиках: