Родился 6 марта (22 февраля) 1887 года в селе Александровском (ныне – в черте города Санкт-Петербурга).
В 1897 году окончил церковно-приходскую земскую школу.
С малых лет работал на Обуховском заводе, при нём же окончил военно-техническую школу. В 1903-1904 годах учился в Императорском лесном институте.
С 1905 года начал участвовать в любительских театральных постановках. В 1917 году стал артистом Петроградского театра Павловой «Привал комедиантов». Затем играл на сценах Саратовского губернского театра, Самарского городского театра, Ленинградского театра имени А.В. Луначарского при Путиловском заводе, Иркутского городского «Красного театра».
В 1926 году вернулся в Ленинград. На протяжении двух лет работал в Ленинградском театре Строителей, а затем – в Большом драматическом театре.
В 1936 году зачислен в труппу Ленинградского театра драмы имени А.С. Пушкина, в котором трудился до конца жизни.
В 1951-1958 годах был директором театра. К.В. Скоробогатов сыграл большое количество ролей в постановках классической драматургии.
Неоднократно исполнял роль В.И. Ленина в спектаклях «На берегу Невы», «Ленин», «Кремлёвские куранты», «Незабываемый 1919-й».
С 1936 года снимался в кино.
Сыграл в около 20 фильмах, среди которых «Пугачёв», «Разгром Юденича», «Небесный тихоход», «Пирогов», «Киевлянка».
Награждён орденом Ленина (1957), двумя орденами Трудового Красного Знамени (1939, 1947), медалями. Лауреат пяти Сталинских премии 2-й степени (1941, 1948, 1949, 1951 – дважды).
Умер 28 июля 1969 года. Похоронен на Литераторских мостках
Волковского кладбища в городе Санкт-Петербурге.