Древнегреческий философ Евклид когда-то сформулировал пять постулатов геометрии, на которых, по сути, основано все, чему нас учили на уроках геометрии в школе. Например, что внутренние углы в треугольнике в сумме составляют 180°, или что площадь прямоугольника равна основанию, умноженному на высоту. Все это евклидова геометрия.
Когда кто-то говорит, что пространство неевклидово, он имеет в виду, что один или несколько из этих постулатов недействительны. Обычно пятый. Очень упрощенно это означает, что если у вас есть две прямые параллельные линии, они никогда не сблизятся и не разойдутся.
Так что же произойдет, если этот постулат недействителен? В качестве упрощенного примера возьмите глобус. Начните с любого места на экваторе и идите прямо на север, т. е. под углом 90° от экватора. Когда вы достигнете полюса, поверните на 90° вправо и продолжайте движение вниз к экватору снова. Когда вы достигнете экватора, поверните на 90° вправо еще раз и следуйте по экватору, пока не достигнете начальной точки.
Итак, поздравляю, вы нарисовали треугольник на глобусе. В чем подвох? А в том, что сумма внутренних углов такого треугольника составляет 270°, а не 180°. Если вы посмотрите на линии от экватора, идущие на север, они прямые на поверхности и параллельны, но они сходятся на полюсе. Это означает, что пятый постулат не действителен на искривленной поверхности. Поверхность глобуса неевклидова.
Может ли неевклидово пространство быть вложено в евклидово пространство?
Конечно, сфера — это неевклидово пространство, и ее можно с легкостью встроить в любое многомерное евклидово пространство.
Как геометрия может иметь разные и в то же время верные системы?
Евклидова геометрия — это геометрия плоскости. Она основана на пяти «постулатах» — довольно очевидных утверждениях, таких как: «от точки до точки можно провести только одну прямую линию». Многим математикам это утверждение не нравилось, и они пытались его оспорить.
И вот, в середине 19 века, математик Бернхард Риман сделал заявление: «А давайте предположим, что существует более одной такой прямой». В результате он основал новую геометрию, которая оказалась самосогласованной.
Некоторое время спустя другой математик, Н. И. Лобачевский, сказал: «А что, если такие прямые пересекаются?» и создал другую самосогласованную геометрию.
Евклид основал свою геометрию на плоской плоскости. Риманова геометрия эквивалентна геометрии на поверхности сферы, а Лобачевского — геометрии на гиперболической поверхности. Каждая из этих геометрий самостоятельна внутри себя и каждая работает.
Гравитация и неевклидова геометрия
Искривление пространства – это не просто математическая абстракция. Общая теория относительности Эйнштейна описывает гравитацию как искривление пространства-времени массивными объектами. Вблизи этих объектов евклидова геометрия перестает быть адекватным инструментом для описания реальности.
Например, свет, проходящий вблизи массивного объекта, такого как Солнце, отклоняется от прямой линии. Это отклонение можно точно предсказать, используя неевклидову геометрию. Подобные эффекты наблюдаются и в других астрофизических явлениях, подтверждая справедливость теории Эйнштейна и необходимость применения неевклидовых подходов в космологии.
Таким образом, выбор между евклидовой и неевклидовой геометрией зависит от масштаба и контекста. Для повседневных задач и небольших расстояний евклидова геометрия остается удобной и точной. Однако, для описания гравитационных явлений и структуры Вселенной на больших масштабах, неевклидовы геометрии становятся незаменимыми.
Итог
Итак, мы выяснили, что когда кто-то говорит, что пространство неевклидово, он имеет в виду пространство, свойства которого отличаются от привычной нам геометрии. Проще говоря, это пространство, где не работают некоторые “обычные” геометрические правила, к которым мы привыкли в школе.