В школьных учебниках математики на базовом уровне понятие производной вводится в середине 10 класса, а на профильном - в 11 классе. Между тем, отсылка к производной в курсе физики на профильном уровне идёт уже в начале 10 класса при изучении механики (мгновенная скорость), а в 9 классе учащимся фактически приходится довольствоваться определением средней скорости, так как без понятия производной определение мгновенной скорости формулируется неточно. Многие темы в школьной программе по физике не только рекомендуют знание производной, но и выглядят в новом свете при её использовании, помогая формированию целостной картины мира. Это позволяет не только изложить физику в старших классах как точную науку со строгими определениями, но и обосновать её многочисленные применения в инженерной практике, так как понятие производной позволяет записать многие физические законы в форме дифференциальных уравнений (содержащих неизвестную величину под знаком производной), которые и моделируют поведение реальных систем.
Итак, на чем же базируется производная функции? Несмотря на устрашающее название, в ней нет ничего, что бы не осилил ученик 8-9 класса (особенно, если оптимизировать раздутую школьную программу по математимке, убрав/сократив то, что вряд ли потом пригодится в вузовской и инженерной реальности) Функции, как известно, бывают разные, но все подразумевают однозначную зависимость одной величины от другой (аргумента): y = f(x). Необходимая терминология следующая (значок треугольника в данном случае читается "дельта" или "приращение/изменение"):
Фундаментальным понятием всей высшей математики является понятие предела, обозначается lim (от латинского limes, или англоязычный вариант limit). Если рассматривается функция дискретного аргумента (последовательность), то говорят о пределе последовательности, например lim (1/n)=0, при натуральном n, стремящемся в бесконечность. Школьник, даже со средним IQ, способен легко понять, почему функция (1/n) --> 0 (стремится к 0) при неограниченном возрастании n=1,2,3,4,5,... (n --> бесконечность).
Нас в физике больше интересуют непрерывные функции непрерывного аргумента. Это как раз такие, у которых приращение стремится к 0 при стремлении приращения аргумента к 0:
И тут порылась первая собака: необходимо учесть, что "приращение", несмотря на название, может быть как > 0 , так и < 0 (приращение справа и слева). очевидно, в нашем определении непрерывной функции ничего не говорилось о типе приращения, стало быть, непрерывная функция должна быть непрерывна и справа и слева. Рисунок, демонстрирующий всю мудрость определения непрерывной функции:
Понятно по названию, что график непрерывной функции, в отличие от разрывной, можно целиком нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги (или пальца от экрана смартфона :), но теперь мы знаем, что разрывные функции бывают разрывны по-разному.
Теперь мы можем с чистой совестью дать определение производной:
Существенно, что в определении стоит модуль приращения х, ибо, как мы уже знаем, необходимо обеспечить существование одного и того же предела при стремлении к х справа и слева. Если пределы слева и справа различаются, то производная в точке х не существует, как это видно на примере функции f(x)=|x| при попытке взять производную в точке х=0:
Такие точки называют угловыми. Таким образом, в угловых точках терпит разрыв не сама функция, а её производная. Функция, непрерывная во всех точках к/либо интервала, и имеющая там непрерывную производную, называется гладкой функцией. Именно гладкие функции окружают нас в повседневной реальности, именно с ними в основном имеет дело физика (и её многочисленные инженерные приложения).
В частности, легко понять, почему траектории реальных физических тел представляют собой гладкие кривые (напомним, что при движении тел уравнение траектории типа y=f(x), получается исключением времени t из системы уравнений: x=x(t), y=y(t)). В рамках школьного курса физики можно, однако, привести примеры траекторий, которые не являются гладкими кривыми, но которые удобно использовать для модельных задач.
©ФизОбр, 2025