Для успешной сдачи экзаменов будь то ОГЭ или ЕГЭ необходимо решить текстовую задачу. И тут у многих возникают трудности. Подчас в школах не в полной мере занимаются по этой теме.
Основная трудность при решении текстовой задачи записать ее в виде уравнения или системы уравнений. Общего алгоритма записи в виде уравнений не существует. Однако многие задачи достаточно типичны.
Определимся с понятием задачи:
Текстовая задача в математике — это задача, которая сформулирована на естественном языке, а не на математическом.
Любая текстовая задача состоит из трёх основных частей:
1. Исходные данные — это информация, которая уже известна из условия задачи. Она может быть представлена в виде чисел, величин, соотношений между величинами или другими данными.
2. Условие содержит в себе описание ситуации, условия, в которых происходит действие, или ограничения, которые необходимо учитывать на этапах решения текстовой задачи.
3. Завершает текст вопрос — это то, что требуется найти. Он может быть сформулирован как требование найти какое-то значение или как задание выполнить какое-то действие
Рассмотрим процесс решения задачи разделив его на восемь этапов:
1-й этап: анализ;
2-й этап: схематическая запись;
3-й этап: поиск способа решения;
4-й этап: осуществление решения:
5-й этап: проверка решения;
6-й этап: исследование задачи;
7-й этап: формулировка ответа;
8-й этап: анализ решения.
Стандартная схема решения таких задач включает в себя:
1.Выбор и обозначение неизвестных.
2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи.
3.Решение полученных уравнений (неравенств).
4.Отбор решений по смыслу задачи.
Примеры задач на движение
В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения, t - время движения.
При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д.
Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения:
1. Если расстояние между двумя движущимися навстречу друг другу телами равно S, а их скорости V1 и V2, то время t через которое они встретятся , находиться по формуле t= S\ V1+V2 .
2. Если движение вдогонку , то есть первое тело следует за вторым , то время t , через которое первое тело догонит второе , находится по формуле t=S\V1-V2 .
3. В задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной . При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела , при движении против течения – вычитается из скорости тела . Скорость плота считается равной скорости течения.
4. Средняя скорость вычисляется по формуле V=S\t , где S- путь , пройденный телом , а t- время, за которое этот путь пройден . Если путь состоит из нескольких участков , то следует вычислить всю длину пути и всё время движения .
Задача 1. Автомобиль ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 180 км. Скорость его по шоссе была на 15 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью автомобиль ехал по лесной дороге, и с какой по шоссе?
Решение:
Пусть x км/ч скорость автомобиля на лесной дороге. Тогда его скорость на шоссе будет (x+15) км/ч. За 2 часа по лесной дороге автомобиль проехал 2·x км., а за час по шоссе (x+15) км. Весь путь по условию равен 180км. Составляем уравнение:
2x+(x+15) = 180;
2x+x = 180 - 15;
3x = 165;
x = 165:3;
x=55.
Значит скорость на лесной дороге 55 км/ч, а на шоссе 55+15=70 (км/ч).
Ответ: 55 км/ч ; 70 км/ч.
Задача 2. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 15 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 часа принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?
Решение:
Пусть x км/ч скорость течения реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (15-x) км/ч. В пути была 45 минут, что равно 3/4 часа.
Путь против течения равен 3/4*(15-х) Далее лодка с испорченным двигателем плыла по течению со скоростью x км/ч 3 часа обратно к пристани. Весь этот путь равен 3∙x км. Но расстояния туда и обратно равны. Составим уравнение:
3/4*(15-х)=3х
3*(15-х)=12х
45-3х=12х
15х=45
х=3
Ответ: 3 км/ч